与えられた数列の和を、シグマ記号($\sum$)を用いずに、各項を書き並べて表現する。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ を最初の3項で表現する。 (2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$ をすべての項を書き出して表現する。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を、シグマ記号($\sum$)を用いずに、各項を書き並べて表現する。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ を最初の3項で表現する。

(2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$ をすべての項を書き出して表現する。

2. 解き方の手順

(1) $k$ に $1, 2, 3$ を代入して、最初の3項を求める。

$k=1$ のとき、$2 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$

$k=2$ のとき、$2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$

$k=3$ のとき、$2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k = 6 + 18 + 54 + \cdots$

(2) $k$ に $2, 3, 4, 5$ を代入して、すべての項を求める。

$k=2$ のとき、$2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$

$k=3$ のとき、$3^3 - 8 = 27 - 8 = 19$

$k=4$ のとき、$4^3 - 8 = 64 - 8 = 56$

$k=5$ のとき、$5^3 - 8 = 125 - 8 = 117$

したがって、$\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8) = 0 + 19 + 56 + 117$

3. 最終的な答え

(1) $6 + 18 + 54$

(2) $0 + 19 + 56 + 117$