円 $x^2 + y^2 = 16$ と直線 $y = 2x - k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 16$ と直線 $y = 2x - k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を1つ持つ、つまり接するということは、円の中心から直線までの距離が円の半径に等しいということです。

円 $x^2 + y^2 = 16$ の中心は原点$(0, 0)$であり、半径は$\sqrt{16} = 4$です。

直線 $y = 2x - k$ は $2x - y - k = 0$ と書き換えられます。

点 $(0, 0)$ と直線 $2x - y - k = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できます。

$$d = \frac{|2(0) - (0) - k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{5}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$$

円と直線が接するためには、この距離 $d$ が円の半径4に等しくなければなりません。

したがって、

$$\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 4$$

両辺に$\sqrt{5}$を掛けると

$$|k| = 4\sqrt{5}$$

絶対値を外すと

$$k = \pm 4\sqrt{5}$$

3. 最終的な答え

$k = 4\sqrt{5}, -4\sqrt{5}$