2次関数 $y = x^2 + mx + 2$ のグラフがx軸と共有点をもつような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + mx + 2$ のグラフがx軸と共有点をもつような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフがx軸と共有点をもつ条件は、対応する2次方程式の実数解が存在することです。

したがって、2次方程式 $x^2 + mx + 2 = 0$ が実数解をもつ条件を考えます。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D \geq 0$ である必要があります。

判別式 $D$ は、$D = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = m^2 - 8$ で与えられます。

$D \geq 0$ より、$m^2 - 8 \geq 0$。

$m^2 \geq 8$ となります。

したがって、$m \leq -\sqrt{8}$ または $m \geq \sqrt{8}$。

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ であるから、$m \leq -2\sqrt{2}$ または $m \geq 2\sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

$m \leq -2\sqrt{2}, \quad m \geq 2\sqrt{2}$