2次関数 $y = x^2 + 2ax - 1 + 3a$ について、以下の2つの条件を満たすときの $a$ の値を求める問題です。 (1) $x=2$ で最小値をとる時の $a$ の値を求める。 (2) 最小値が $-5$ である時の $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2ax - 1 + 3a$ について、以下の2つの条件を満たすときの $a$ の値を求める問題です。

(1) $x=2$ で最小値をとる時の $a$ の値を求める。

(2) 最小値が $-5$ である時の $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 2ax - 1 + 3a$

$y = (x + a)^2 - a^2 - 1 + 3a$

(1) $x = 2$ で最小値をとるとき、軸は $x = -a$ ですから、$-a = 2$ となります。

よって、$a = -2$

(2) 最小値が $-5$ のとき、$y = (x + a)^2 - a^2 - 1 + 3a$ の最小値は $- a^2 - 1 + 3a$ です。

したがって、 $-a^2 - 1 + 3a = -5$ となります。

$-a^2 + 3a + 4 = 0$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a - 4)(a + 1) = 0$

$a = 4, -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2$

(2) $a = -1, 4$