2つの二次関数について、それぞれの最大値と最小値を求め、(2)についてはその時の $x$ の値も求める。 (1) $y = -x^2 - 2x + 4$ (2) $y = 3x^2 + 6x - 7$ (ただし、$-3 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

2つの二次関数について、それぞれの最大値と最小値を求め、(2)についてはその時の $x$ の値も求める。

(1) $y = -x^2 - 2x + 4$

(2) $y = 3x^2 + 6x - 7$ (ただし、$-3 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 2x + 4$

$y = -(x^2 + 2x) + 4$

$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 4$

$y = -(x+1)^2 + 1 + 4$

$y = -(x+1)^2 + 5$

この式から、頂点は $(-1, 5)$ であることがわかります。また、$x^2$ の係数が負であるため、上に凸のグラフになります。したがって、最大値は頂点の $y$ 座標である 5 となります。最小値は存在しません。なぜならば、上に凸のグラフは下に無限に伸びていくからです。問題文から最大値と最小値が存在することから、問題に不備があるか、もしくは $x$ の定義域が与えられているはずです。ここでは最小値は存在しないとして解答します。

(2)

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 3x^2 + 6x - 7$

$y = 3(x^2 + 2x) - 7$

$y = 3(x^2 + 2x + 1 - 1) - 7$

$y = 3(x+1)^2 - 3 - 7$

$y = 3(x+1)^2 - 10$

この式から、頂点は $(-1, -10)$ であることがわかります。また、$x^2$ の係数が正であるため、下に凸のグラフになります。定義域が $-3 \le x \le 1$ であるため、この範囲での最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $-1$ であり、これは定義域に含まれています。したがって、$x = -1$ のとき、最小値は $-10$ です。

最大値を求めるためには、定義域の端点である $x = -3$ と $x = 1$ の時の $y$ の値を計算します。

$x = -3$ のとき、$y = 3(-3+1)^2 - 10 = 3(-2)^2 - 10 = 3(4) - 10 = 12 - 10 = 2$

$x = 1$ のとき、$y = 3(1+1)^2 - 10 = 3(2)^2 - 10 = 3(4) - 10 = 12 - 10 = 2$

したがって、最大値は $2$ で、$x = -3$ および $x = 1$ のときに取ります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5, 最小値: なし

(2) 最大値: 2 ($x = -3, 1$), 最小値: -10 ($x = -1$)