2次関数 $y = x^2 - 2ax$ において、$-1 \leq x \leq 1$ の範囲における最小値、最大値を、$a$ の値によって場合分けして求め、空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax$ において、$-1 \leq x \leq 1$ の範囲における最小値、最大値を、$a$ の値によって場合分けして求め、空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax = (x-a)^2 - a^2$

これにより、この2次関数の軸が $x=a$ であることがわかります。

(1) 最小値について

* $a < -1$ のとき

軸は範囲よりも左にあるため、区間の右端 $x=1$ で最小値をとります。

$y = (1)^2 - 2a(1) = 1 - 2a$

よって、最小値は $-2a + 1$

* $1 < a$ のとき

軸は範囲よりも右にあるため、区間の左端 $x=-1$ で最小値をとります。

$y = (-1)^2 - 2a(-1) = 1 + 2a$

よって、最小値は $2a + 1$

(2) 最大値について

* $a < 0$ のとき

$x = 1$ で最大になる。

$y = (1)^2 - 2a(1) = 1 - 2a$

よって、最大値は $-2a + 1$

* $0 < a$ のとき

$x = -1$ で最大になる。

$y = (-1)^2 - 2a(-1) = 1 + 2a$

よって、最大値は $2a + 1$

3. 最終的な答え

(1)

$a < -1$ のときの最小値は、 $-2a + 1$

$1 < a$ のときの最小値は、 $2a + 1$

(2)

$a < 0$ のときの最大値は、 $-2a + 1$

$0 < a$ のときの最大値は、 $2a + 1$