袋Aには赤玉2個、白玉1個が入っており、袋Bには赤玉3個、白玉2個が入っています。袋Aから1個、袋Bから2個、合計3個の玉を取り出すとき、取り出した玉が赤玉1個、白玉2個である確率を求めます。

1. 問題の内容

袋Aには赤玉2個、白玉1個が入っており、袋Bには赤玉3個、白玉2個が入っています。袋Aから1個、袋Bから2個、合計3個の玉を取り出すとき、取り出した玉が赤玉1個、白玉2個である確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、袋Aから1個、袋Bから2個を取り出す全ての場合の数を求めます。

袋Aから取り出す場合の数は、赤玉または白玉なので2通りあります。

袋Bから2個取り出す場合の数は、全部で5個の玉から2個を選ぶので、組み合わせの数で ${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

したがって、袋Aから1個、袋Bから2個を取り出す全ての場合の数は $2 \times 10 = 20$ 通りです。

次に、取り出した玉が赤玉1個、白玉2個となる場合を考えます。

(1) 袋Aから赤玉を取り出し、袋Bから白玉2個を取り出す場合

袋Aから赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{3}$ です。

袋Bから白玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_2 C_2}{{}_5 C_2} = \frac{1}{10}$ です。

したがって、この場合の確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{10} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ です。

(2) 袋Aから白玉を取り出し、袋Bから赤玉1個、白玉1個を取り出す場合

袋Aから白玉を取り出す確率は $\frac{1}{3}$ です。

袋Bから赤玉1個、白玉1個を取り出す確率は $\frac{{}_3 C_1 \times {}_2 C_1}{{}_5 C_2} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ です。

したがって、この場合の確率は $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ です。

求める確率は、上記(1)と(2)の確率の和なので、$\frac{1}{15} + \frac{1}{5} = \frac{1}{15} + \frac{3}{15} = \frac{4}{15}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{4}{15}$