AとBの2チームが試合を行い、先に3勝したチームを優勝とする。1回の試合において、Aが勝つ確率は1/2、Bが勝つ確率は1/3、引き分けの確率は1/6とする。 (1) Aが3勝1敗で優勝する確率を求めよ。 (2) 3試合目で優勝するチームが決まる確率を求めよ。 (3) Bが3勝1敗1引き分けで優勝する確率を求めよ。 (4) 4試合目で優勝するチームが決まったとき、優勝したチームがAである条件付き確率を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

AとBの2チームが試合を行い、先に3勝したチームを優勝とする。1回の試合において、Aが勝つ確率は1/2、Bが勝つ確率は1/3、引き分けの確率は1/6とする。

(1) Aが3勝1敗で優勝する確率を求めよ。

(2) 3試合目で優勝するチームが決まる確率を求めよ。

(3) Bが3勝1敗1引き分けで優勝する確率を求めよ。

(4) 4試合目で優勝するチームが決まったとき、優勝したチームがAである条件付き確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) Aが3勝1敗で優勝する場合、4試合目でAが勝つ必要があり、それまでの3試合でAが2勝1敗となる必要があります。3試合でAが2勝1敗となる確率は、

${}_3C_2 (1/2)^2 (1/3)^1 = 3 (1/4) (1/3) = 1/4$

したがって、Aが3勝1敗で優勝する確率は、

$(1/4) (1/2) = 1/8$

よって、選択肢はウ。

(2) 3試合目で優勝チームが決まるのは、3連勝、または3連敗の場合です。

Aが3連勝する確率は $(1/2)^3 = 1/8$

Bが3連勝する確率は $(1/3)^3 = 1/27$

したがって、3試合目で優勝チームが決まる確率は、

$1/8 + 1/27 = (27 + 8) / 216 = 35/216$

よって、選択肢はア。

(3) Bが3勝1敗1引き分けで優勝する場合、5試合目でBが勝つ必要があり、それまでの4試合でBが2勝1敗1引き分けとなる必要があります。4試合でBが2勝1敗1引き分けとなる組み合わせの数は、${}_4C_2 \times {}_2C_1 = 6 \times 2 = 12$通りです。したがって、その確率は、

$12 (1/3)^2 (1/2) (1/6) = 12 (1/9) (1/2) (1/6) = 12 / 108 = 1/9$

したがって、Bが3勝1敗1引き分けで優勝する確率は、

$(1/9) (1/3) = 1/27$

よって、選択肢はエ。

(4) 4試合目で優勝チームが決まるのは、Aが3勝1敗、またはBが3勝1敗の場合です。

Aが3勝1敗で優勝する確率は、(1)より$1/8$。

Bが3勝1敗で優勝する確率は、

${}_3C_2 (1/3)^2 (1/2) (1/3) = 3 (1/9) (1/2) (1/3) = 1/18$

4試合目で優勝チームが決まる確率は、$1/8 + 1/18 = (9+4)/72 = 13/72$。

条件付き確率は、

$(1/8) / (13/72) = (1/8) (72/13) = 9/13 = 81/117$

選択肢にないため、A,Bが3勝1分で4試合目で終わる場合がある。

A3勝1分で終わる確率は、${}_3C_3 (1/2)^3 (1/6) = 1/48$

B3勝1分で終わる確率は、${}_3C_3 (1/3)^3 (1/6) = 1/162$

4試合目で優勝が決まる確率は、$1/8 + 1/18 + 1/48 + 1/162 = (81+36+27+8) / 648 = 152/648 = 19/81$

優勝チームがAである確率は、$1/8 + 1/48 = (6+1)/48 = 7/48$

したがって、条件付き確率は、$(7/48)/(19/81) = 7/48 \cdot 81/19 = 567 / (48 \times 19) = 567 / 912 = 189/304 \approx 0.62$

$P(A) = {3 \choose 2}(\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{3}) + {3 \choose 2} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{6}) = \frac{3}{24} + \frac{3}{48} = \frac{9}{48} = \frac{3}{16}$

$P(B) = {3 \choose 2} (\frac{1}{3})^3(\frac{1}{2}) + {3 \choose 2} (\frac{1}{3})^3(\frac{1}{6}) = \frac{3}{54} + \frac{3}{162} = \frac{1}{18} + \frac{1}{54} = \frac{3+1}{54} = \frac{4}{54}= \frac{2}{27}$

$\frac{P(A)}{P(A)+ P(B)} = \frac{\frac{3}{16}}{\frac{3}{16} + \frac{2}{27}} = \frac{\frac{3}{16}}{\frac{81+32}{16 \cdot 27}} = \frac{3 \cdot 16 \cdot 27}{16(113)} = \frac{81}{113}$

3. 最終的な答え

19: ウ. 1/8

20: ア. 35/216

21: エ. 1/27

22: ウ. 81/113