袋の中に赤玉1個、白玉2個が入っている。袋から玉を1個取り出し、元に戻すことを5回行う。このとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉1個、白玉2個が入っている。袋から玉を1個取り出し、元に戻すことを5回行う。このとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題である。

1回の試行で赤玉が出る確率は $1/3$、赤玉が出ない確率は $2/3$ である。

5回の試行で赤玉がちょうど2回出る確率は、二項分布を用いて計算できる。

二項分布の公式は以下の通り。

$P(X = k) = {}_nC_k p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n$ は試行回数、$k$ は成功回数、$p$ は1回の試行で成功する確率である。

この問題では、$n = 5$, $k = 2$, $p = 1/3$ であるから、

$P(X = 2) = {}_5C_2 (1/3)^2 (2/3)^{5-2}$

$= {}_5C_2 (1/3)^2 (2/3)^3$

$= \frac{5!}{2!3!} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{27}$

$= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{27}$

$= 10 \cdot \frac{8}{243}$

$= \frac{80}{243}$

3. 最終的な答え

確率は $\frac{80}{243}$ である。

カキ = 80

クケコ = 243