図において、$\angle A$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

図において、$\angle A$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle DBC$ に注目します。$\angle DBC = 90^\circ$ (仮定から $BD \perp BC$), $\angle C = 60^\circ$ であるから、$\angle BDC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ となります。

次に、$\triangle ABD$ について、$AD = 6\sqrt{7}$, $AB = 3\sqrt{7}$ であることから、$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} = 2$。

$\triangle DBC$ において、$BC = 7\sqrt{3}$, $\angle C = 60^\circ$, $\angle BDC = 30^\circ$, $\angle DBC = 90^\circ$ より、$BD = BC \tan{60^\circ} = 7\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 7 \times 3 = 21$ となります。

$\triangle ABD$ において、$AB = 3\sqrt{7}$, $AD = 6\sqrt{7}$, $BD = 21$ です。$\angle ABD = 90^\circ$ なので、ピタゴラスの定理より、$AD^2 = AB^2 + BD^2$ が成り立つかどうか確認します。

$(6\sqrt{7})^2 = 36 \times 7 = 252$

$(3\sqrt{7})^2 + 21^2 = 9 \times 7 + 441 = 63 + 441 = 504$

よって、$\triangle ABD$ は直角三角形ではありません。

$\triangle DBC$ において、$BC = 7\sqrt{3}$, $BD = 21$, $\angle C = 60^\circ$, $\angle DBC = 90^\circ$ です。したがって、$CD = \dfrac{BC}{\cos{60^\circ}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{1/2} = 14\sqrt{3}$。

$\angle BDC = 30^\circ$ であり、$\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC = 30^\circ - 30^\circ = 0^\circ$ となるのはあり得ないので、問題文に誤りがある可能性があります。

仮に、$BD = a$とすると、$\triangle ABD$ で余弦定理を用いると、$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2(AB)(BD)\cos{90^\circ}$。

$(6\sqrt{7})^2 = (3\sqrt{7})^2 + a^2$ より、$252 = 63 + a^2$、$a^2 = 189$、$a = \sqrt{189} = 3\sqrt{21}$

$\triangle DBC$ について、$BC = 7\sqrt{3}$ なので、$BD = 7\sqrt{3} \tan{60^\circ}$ となることはあり得ない。

正弦定理を用いる。$\triangle ABD$ において、$\dfrac{AD}{\sin{90^\circ}} = \dfrac{AB}{\sin{\angle ADB}}$。$\sin{\angle ADB} = \dfrac{3\sqrt{7}}{6\sqrt{7}} = \dfrac{1}{2}$ より、$\angle ADB = 30^\circ$。よって、$\angle ABD = 90^\circ$ であるから、$\angle BAD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。

したがって、$\angle A = 60^\circ$

3. 最終的な答え

60°