問題5は、与えられた3つの立体（三角柱、正四角錐、半球）について、それぞれの体積と表面積を求める問題です。

1. 問題の内容

問題5は、与えられた3つの立体（三角柱、正四角錐、半球）について、それぞれの体積と表面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 三角柱

体積:

底面は直角三角形なので、底面積は $3 \times 8 \div 2 = 12$ cm$^2$。

高さは5cmなので、体積は $12 \times 5 = 60$ cm$^3$。

表面積:

底面は2つあり、合計面積は $12 \times 2 = 24$ cm$^2$。

側面の長方形の面積は、それぞれ $3 \times 5 = 15$ cm$^2$、$8 \times 5 = 40$ cm$^2$。

斜めの面の長さは、三平方の定理より $\sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9+64} = \sqrt{73}$。よって斜めの面の面積は $5\sqrt{73}$ cm$^2$。

したがって、側面の合計面積は $15 + 40 + 5\sqrt{73} = 55 + 5\sqrt{73}$ cm$^2$。

表面積は $24 + 55 + 5\sqrt{73} = 79 + 5\sqrt{73}$ cm$^2$。$\sqrt{73} \approx 8.54$より$79 + 5 \times 8.54 \approx 79 + 42.7 = 121.7$ cm$^2$。

(2) 正四角錐

体積:

底面は一辺10cmの正方形なので、底面積は $10 \times 10 = 100$ cm$^2$。

高さは12cmなので、体積は $\frac{1}{3} \times 100 \times 12 = 400$ cm$^3$。

表面積:

底面積は100 cm$^2$。

側面の三角形の面積は、$\frac{1}{2} \times 10 \times 13 = 65$ cm$^2$。

側面は4つあるので、側面積は $65 \times 4 = 260$ cm$^2$。

表面積は $100 + 260 = 360$ cm$^2$。

(3) 半球

体積:

半径は4cmなので、球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (4^3) = \frac{256}{3}\pi$ cm$^3$。

半球なので、体積は $\frac{1}{2} \times \frac{256}{3}\pi = \frac{128}{3}\pi$ cm$^3$。

表面積:

球の表面積は $4\pi r^2 = 4\pi (4^2) = 64\pi$ cm$^2$。

半球なので、曲面の表面積は $\frac{1}{2} \times 64\pi = 32\pi$ cm$^2$。

切り口の円の面積は $\pi r^2 = \pi (4^2) = 16\pi$ cm$^2$。

表面積は $32\pi + 16\pi = 48\pi$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

(1) 三角柱

体積: 60 cm$^3$

表面積: $79 + 5\sqrt{73} \approx 121.7$ cm$^2$

(2) 正四角錐

体積: 400 cm$^3$

表面積: 360 cm$^2$

(3) 半球

体積: $\frac{128}{3}\pi$ cm$^3$

表面積: $48\pi$ cm$^2$