問題は、与えられた三角形OABに対して、点Pの位置ベクトル $\vec{OP}$ が $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ で表されるとき、実数 $s$, $t$ が特定の条件を満たしながら変化するときの点Pの存在範囲を求める問題です。 (1) $0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$ (2) $s + t \ge 2$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

1. 問題の内容

問題は、与えられた三角形OABに対して、点Pの位置ベクトル $\vec{OP}$ が $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ で表されるとき、実数 $s$, $t$ が特定の条件を満たしながら変化するときの点Pの存在範囲を求める問題です。

(1) $0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$

(2) $s + t \ge 2$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

2. 解き方の手順

(1) $0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$ の場合

$s$と$t$がそれぞれ0から1の間の値をとるため、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ は、点O, A, Bを頂点とする平行四辺形OACBの周および内部を表します。

しかし、$0 \le s \le 1$ と $0 \le t \le 1$ であるから、点PはO, A, Bを頂点とする三角形OABの周および内部になります。

(2) $s + t \ge 2$, $s \ge 0$, $t \ge 0$ の場合

$s+t \ge 2$ を $s+t = k$ とおくと、$k \ge 2$ となります。

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ で、

$s+t \ge 2$ より、$s' = s/k$, $t' = t/k$ とおくと、$s' + t' = 1$ となり、$s', t' \ge 0$ となります。

したがって、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = k(s'\vec{OA} + t'\vec{OB})$ で、$s'\vec{OA} + t'\vec{OB}$ は線分AB上の点を表します。

したがって、点Pは線分AB上の点を原点Oからk倍($k \ge 2$)した点になります。

直線ABと平行で, $\triangle$OCDの周および内部を表します。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle OAB$ の周および内部

(2) $\triangle OCD$ の周および内部