$\alpha$ の動径が第2象限にあり、$\beta$ の動径が第1象限にある。$\sin\alpha = \frac{3}{5}$、$\cos\beta = \frac{5}{13}$ のとき、$\sin(\alpha - \beta)$ の値を求める。

## 問題58

1. 問題の内容

$\alpha$ の動径が第2象限にあり、$\beta$ の動径が第1象限にある。$\sin\alpha = \frac{3}{5}$、$\cos\beta = \frac{5}{13}$ のとき、$\sin(\alpha - \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\alpha$ と $\cos\beta$ の値から、$\cos\alpha$ と $\sin\beta$ の値を求める。

$\alpha$ は第2象限の角なので、$\cos\alpha < 0$ である。

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ より、

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

したがって、$\cos\alpha = -\frac{4}{5}$

$\beta$ は第1象限の角なので、$\sin\beta > 0$ である。

$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ より、

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

したがって、$\sin\beta = \frac{12}{13}$

次に、$\sin(\alpha - \beta)$ の加法定理を用いる。

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

値を代入する。

$\sin(\alpha - \beta) = (\frac{3}{5})(\frac{5}{13}) - (-\frac{4}{5})(\frac{12}{13}) = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{63}{65}$

## 問題59

1. 問題の内容

2直線 $y = -3x$ と $y = 2x$ のなす角 $\theta$ を求める。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

2直線の傾きをそれぞれ $m_1, m_2$ とする。

$m_1 = -3$, $m_2 = 2$

2直線のなす角 $\theta$ は、以下の式で与えられる。

$\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right|$

$\tan\theta = \left|\frac{-3 - 2}{1 + (-3)(2)}\right| = \left|\frac{-5}{1 - 6}\right| = \left|\frac{-5}{-5}\right| = 1$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}$