与えられた図形に関する問題に答えます。具体的には、次の問題に答えます。 (1) 半径 12cm の円の周の長さを求めます。 (2) 半径 7cm, 中心角 40° のおうぎ形の弧の長さを求めます。 (3) 半径 5cm, 中心角 72° のおうぎ形の面積を求めます。 (4) 半径 8cm, 弧の長さが $6\pi$ cm のおうぎ形の中心角の大きさを求めます。 (5) 一辺の長さが 4cm の正三角形 2 つと、半径が正三角形の辺と重なるおうぎ形 2 つを組み合わせた図形について、色を塗った部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

与えられた図形に関する問題に答えます。具体的には、次の問題に答えます。

(1) 半径 12cm の円の周の長さを求めます。

(2) 半径 7cm, 中心角 40° のおうぎ形の弧の長さを求めます。

(3) 半径 5cm, 中心角 72° のおうぎ形の面積を求めます。

(4) 半径 8cm, 弧の長さが $6\pi$ cm のおうぎ形の中心角の大きさを求めます。

(5) 一辺の長さが 4cm の正三角形 2 つと、半径が正三角形の辺と重なるおうぎ形 2 つを組み合わせた図形について、色を塗った部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円の周の長さの公式は $2 \pi r$ です。ここで $r = 12$ cm です。

(2) おうぎ形の弧の長さの公式は $2 \pi r \times \frac{a}{360}$ です。ここで $r = 7$ cm, $a = 40$° です。

(3) おうぎ形の面積の公式は $\pi r^2 \times \frac{a}{360}$ です。ここで $r = 5$ cm, $a = 72$° です。

(4) おうぎ形の弧の長さの公式 $l = 2 \pi r \times \frac{a}{360}$ を用いて、中心角 $a$ を求めます。ここで $r = 8$ cm, $l = 6 \pi$ cm です。 $6 \pi = 2 \pi (8) \times \frac{a}{360}$ を解きます。

(5) 円の面積は $\pi r^2$ で、ここで $r = 4$ cm です。正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ で、ここで $a = 4$ cm です。色のついた部分の面積は、円の面積から正三角形の面積 2 つ分を引いたものです。

3. 最終的な答え

(1) $2 \pi (12) = 24 \pi$ cm

(2) $2 \pi (7) \times \frac{40}{360} = 2 \pi (7) \times \frac{1}{9} = \frac{14 \pi}{9}$ cm

(3) $\pi (5^2) \times \frac{72}{360} = 25 \pi \times \frac{1}{5} = 5 \pi$ cm$^2$

(4) $6 \pi = 2 \pi (8) \times \frac{a}{360}$ より、 $6 = 16 \times \frac{a}{360}$。 $a = \frac{6 \times 360}{16} = \frac{3 \times 360}{8} = \frac{3 \times 90}{2} = 3 \times 45 = 135$°

(5) 円の面積は $\pi (4^2) = 16 \pi$ cm$^2$。正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} (4^2) = 4 \sqrt{3}$ cm$^2$。色のついた部分の面積は $16 \pi - 2(4 \sqrt{3}) = 16 \pi - 8 \sqrt{3}$ cm$^2$

答え：

(1) $24 \pi$ cm

(2) $\frac{14}{9} \pi$ cm

(3) $5 \pi$ cm$^2$

(4) $135$°

(5) $16 \pi - 8 \sqrt{3}$ cm$^2$