点 $4+i$ を点 $1+2i$ を中心に回転させた点の座標を求める問題です。回転角は(1) $\frac{\pi}{2}$ と (2) $-\frac{2\pi}{3}$ の2パターンです。

1. 問題の内容

点 $4+i$ を点 $1+2i$ を中心に回転させた点の座標を求める問題です。回転角は(1) $\frac{\pi}{2}$ と (2) $-\frac{2\pi}{3}$ の2パターンです。

2. 解き方の手順

回転の中心を原点に移動してから回転させ、最後に回転の中心を元に戻すという手順で解きます。

(1) $\frac{\pi}{2}$ 回転の場合：

1. 回転の中心を原点に移動：$4+i - (1+2i) = 3-i$

2. $\frac{\pi}{2}$ 回転：$(3-i)(\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2})) = (3-i)(0+i) = 3i - i^2 = 1+3i$

3. 回転の中心を元に戻す：$1+3i + (1+2i) = 2+5i$

よって、(1)の答えは $2+5i$ です。

(2) $-\frac{2\pi}{3}$ 回転の場合：

1. 回転の中心を原点に移動：$4+i - (1+2i) = 3-i$

2. $-\frac{2\pi}{3}$ 回転：$(3-i)(\cos(-\frac{2\pi}{3})+i\sin(-\frac{2\pi}{3})) = (3-i)(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = (-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})+i(\frac{1}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2})$

3. 回転の中心を元に戻す：$(-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})+i(\frac{1}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}) + (1+2i) = (-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})+i(\frac{5}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2})$

よって、(2)の答えは $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} + i(\frac{5}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2})$ です。

3. 最終的な答え

(1) $z=2+5i$

(2) $z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{5}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2})i$