(1) 半径12cmの円の円周の長さを求める。 (2) 半径7cm、中心角40°のおうぎ形の弧の長さを求める。 (3) 半径5cm、中心角72°のおうぎ形の面積を求める。 (4) 半径8cm、弧の長さが$6\pi$ cmのおうぎ形の中心角の大きさを求める。 (5) 一辺の長さが4cmの正三角形2つと、半径が正三角形の辺と重なるおうぎ形2つを組み合わせた図形について、色のついた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 半径12cmの円の円周の長さを求める。

(2) 半径7cm、中心角40°のおうぎ形の弧の長さを求める。

(3) 半径5cm、中心角72°のおうぎ形の面積を求める。

(4) 半径8cm、弧の長さが$6\pi$ cmのおうぎ形の中心角の大きさを求める。

(5) 一辺の長さが4cmの正三角形2つと、半径が正三角形の辺と重なるおうぎ形2つを組み合わせた図形について、色のついた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円周の長さは $2 \pi r$ で計算される。ここで、$r = 12$ cmなので、円周の長さは $2 \pi \times 12 = 24\pi$ cm。

(2) 弧の長さは $2 \pi r \times \frac{\theta}{360}$ で計算される。ここで、$r = 7$ cm、$\theta = 40^\circ$なので、弧の長さは $2 \pi \times 7 \times \frac{40}{360} = 14 \pi \times \frac{1}{9} = \frac{14}{9} \pi$ cm。

(3) おうぎ形の面積は $\pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$ で計算される。ここで、$r = 5$ cm、$\theta = 72^\circ$なので、面積は $\pi \times 5^2 \times \frac{72}{360} = 25 \pi \times \frac{1}{5} = 5 \pi$ cm$^2$。

(4) 弧の長さは $2 \pi r \times \frac{\theta}{360}$ であり、これが$6\pi$ cmである。$r=8$ cmなので、$2 \pi \times 8 \times \frac{\theta}{360} = 6 \pi$。これを解くと、$\frac{16 \pi \theta}{360} = 6 \pi$。$\theta = \frac{6 \pi \times 360}{16 \pi} = \frac{6 \times 360}{16} = \frac{3 \times 360}{8} = \frac{3 \times 90}{2} = 3 \times 45 = 135$。中心角は$135^\circ$。

(5) 円の面積は $\pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi$ cm$^2$。正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}$ cm$^2$。色のついた部分の面積は円の面積から正三角形2つ分の面積を引いたものなので、$16\pi - 2 \times 4\sqrt{3} = 16\pi - 8\sqrt{3}$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

(1) $24\pi$ cm

(2) $\frac{14}{9}\pi$ cm

(3) $5\pi$ cm$^2$

(4) $135^\circ$

(5) $16\pi - 8\sqrt{3}$ cm$^2$