袋Aには赤球3個と白球7個、袋Bには赤球2個と白球3個が入っている。袋Aと袋Bからそれぞれ2個ずつ球を取り出すとき、取り出した4個の球が全て同じ色になる確率を求める。

1. 問題の内容

袋Aには赤球3個と白球7個、袋Bには赤球2個と白球3個が入っている。袋Aと袋Bからそれぞれ2個ずつ球を取り出すとき、取り出した4個の球が全て同じ色になる確率を求める。

2. 解き方の手順

4個の球が全て同じ色になるのは、以下の2つの場合がある。

(1) 4個全てが赤球である場合

(2) 4個全てが白球である場合

それぞれの確率を計算し、足し合わせる。

(1) 4個全てが赤球である場合

袋Aから赤球2個を取り出す確率は、

$\frac{{}_3C_2}{{}_{10}C_2} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$

袋Bから赤球2個を取り出す確率は、

$\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

したがって、4個全てが赤球である確率は、

$\frac{1}{15} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{150}$

(2) 4個全てが白球である場合

袋Aから白球2個を取り出す確率は、

$\frac{{}_7C_2}{{}_{10}C_2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

袋Bから白球2個を取り出す確率は、

$\frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

したがって、4個全てが白球である確率は、

$\frac{7}{15} \times \frac{3}{10} = \frac{21}{150} = \frac{7}{50}$

求める確率は、(1)と(2)の確率の和である。

$\frac{1}{150} + \frac{7}{50} = \frac{1}{150} + \frac{21}{150} = \frac{22}{150} = \frac{11}{75}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{75}$