赤玉3個と白玉2個が入った袋から同時に3個の玉を取り出す。赤玉1個につき100円もらえるとき、1回の試行で受け取る金額の期待値を求める。

1. 問題の内容

赤玉3個と白玉2個が入った袋から同時に3個の玉を取り出す。赤玉1個につき100円もらえるとき、1回の試行で受け取る金額の期待値を求める。

2. 解き方の手順

まず、3個の玉の取り出し方の総数を計算する。これは、5個の玉から3個を選ぶ組み合わせの数なので、$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りである。

次に、取り出す赤玉の個数（0個、1個、2個、3個）ごとに、その確率と得られる金額を計算する。

* 赤玉が0個の場合：白玉3個を選ぶ必要があり、これは不可能である。確率は0。金額は0円。

* 赤玉が1個の場合：赤玉1個、白玉2個を選ぶ。確率は $\frac{{}_3C_1 \times {}_2C_2}{10} = \frac{3 \times 1}{10} = \frac{3}{10}$。金額は100円。

* 赤玉が2個の場合：赤玉2個、白玉1個を選ぶ。確率は $\frac{{}_3C_2 \times {}_2C_1}{10} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10}$。金額は200円。

* 赤玉が3個の場合：赤玉3個、白玉0個を選ぶ。確率は $\frac{{}_3C_3 \times {}_2C_0}{10} = \frac{1 \times 1}{10} = \frac{1}{10}$。金額は300円。

最後に、期待値を計算する。期待値は、各金額とその金額を得られる確率の積の総和である。

$期待値 = (0 \times 0) + (100 \times \frac{3}{10}) + (200 \times \frac{6}{10}) + (300 \times \frac{1}{10}) = 0 + 30 + 120 + 30 = 180$円。

3. 最終的な答え

180 (円)