ある商品を購入すると、$\frac{1}{5}$ の確率で景品が入っている。この商品を4個買ったとき、以下の確率を求めよ。 (1) 景品がちょうど3個手に入る確率 (2) 景品が少なくとも1個手に入る確率

1. 問題の内容

ある商品を購入すると、$\frac{1}{5}$ の確率で景品が入っている。この商品を4個買ったとき、以下の確率を求めよ。

(1) 景品がちょうど3個手に入る確率

(2) 景品が少なくとも1個手に入る確率

2. 解き方の手順

(1) 景品がちょうど3個手に入る確率を求める。

これは二項分布の問題なので、二項分布の確率の公式を用いる。

4個中3個に景品が入る確率は、

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P(X=3) = {}_4 C_3 \left(\frac{1}{5}\right)^3 \left(1-\frac{1}{5}\right)^{4-3}

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P(X=3) = {}_4 C_3 \left(\frac{1}{5}\right)^3 \left(\frac{4}{5}\right)^{1}

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P(X=3) = 4 \times \frac{1}{125} \times \frac{4}{5}

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P(X=3) = \frac{16}{625}

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(2) 景品が少なくとも1個手に入る確率を求める。

これは、1 - (景品が1つも手に入らない確率)で求められる。

景品が1つも手に入らない確率は、

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P(X=0) = {}_4 C_0 \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(1-\frac{1}{5}\right)^{4-0}

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P(X=0) = 1 \times 1 \times \left(\frac{4}{5}\right)^4

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P(X=0) = \frac{256}{625}

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したがって、少なくとも1個景品が手に入る確率は、

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1 - P(X=0) = 1 - \frac{256}{625} = \frac{625 - 256}{625} = \frac{369}{625}

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3. 最終的な答え

(1) 景品がちょうど3個手に入る確率: $\frac{16}{625}$

(2) 景品が少なくとも1個手に入る確率: $\frac{369}{625}$