ある商品を買うと $\frac{1}{5}$ の確率で景品が入っている。この商品を4個買ったとき、以下の確率を求めよ。 (1) 景品がちょうど3個手に入る確率 (2) 景品が少なくとも1個手に入る確率

1. 問題の内容

ある商品を買うと $\frac{1}{5}$ の確率で景品が入っている。この商品を4個買ったとき、以下の確率を求めよ。

(1) 景品がちょうど3個手に入る確率

(2) 景品が少なくとも1個手に入る確率

2. 解き方の手順

(1) 景品がちょうど3個手に入る確率

これは二項分布の問題である。4個の商品を買って、景品が手に入る確率が $\frac{1}{5}$ なので、景品が3個手に入る確率は、二項分布の公式を用いて計算できる。

$n=4$, $k=3$, $p = \frac{1}{5}$ であるから、確率は

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{}_4 C_3 \left(\frac{1}{5}\right)^3 \left(1 - \frac{1}{5}\right)^{4-3} = {}_4 C_3 \left(\frac{1}{5}\right)^3 \left(\frac{4}{5}\right)^1 = 4 \times \frac{1}{125} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{625}

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(2) 景品が少なくとも1個手に入る確率

これは余事象の考え方を使う方が簡単である。少なくとも1個手に入る確率は、1から1個も手に入らない確率を引けばよい。

1個も手に入らない確率は

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{}_4 C_0 \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{256}{625} = \frac{256}{625}

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したがって、少なくとも1個手に入る確率は

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1 - \frac{256}{625} = \frac{625 - 256}{625} = \frac{369}{625}

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3. 最終的な答え

(1) 景品がちょうど3個手に入る確率は $\frac{16}{625}$

(2) 景品が少なくとも1個手に入る確率は $\frac{369}{625}$