点Pは数直線上の原点Oから出発し、サイコロの目が奇数なら+1、偶数なら-1だけ移動します。サイコロを8回投げたとき、以下の点にPが到達する確率を求めます。 (1) 原点O (2) 点A (座標2)

1. 問題の内容

点Pは数直線上の原点Oから出発し、サイコロの目が奇数なら+1、偶数なら-1だけ移動します。サイコロを8回投げたとき、以下の点にPが到達する確率を求めます。

(1) 原点O

(2) 点A (座標2)

2. 解き方の手順

サイコロを8回投げて、奇数の目が $x$ 回、偶数の目が $y$ 回出たとします。このとき、Pの座標は $x - y$ で表されます。また、 $x + y = 8$ という関係が成り立ちます。

(1) 原点Oに到達する場合

Pが原点Oに到達するには、$x - y = 0$ である必要があります。

$x - y = 0$ と $x + y = 8$ を連立方程式として解くと、

$x = 4$ 、 $y = 4$ となります。

つまり、奇数の目が4回、偶数の目が4回出る必要があります。

サイコロの目が奇数である確率は $\frac{1}{2}$、偶数である確率も $\frac{1}{2}$ です。

したがって、8回中4回奇数が出る確率は、二項定理より、

$${}_8 C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 = {}_8 C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{8!}{4!4!} \cdot \frac{1}{256} = \frac{70}{256} = \frac{35}{128}$$

(2) 点Aに到達する場合

Pが点A (座標2) に到達するには、$x - y = 2$ である必要があります。

$x - y = 2$ と $x + y = 8$ を連立方程式として解くと、

$x = 5$ 、 $y = 3$ となります。

つまり、奇数の目が5回、偶数の目が3回出る必要があります。

サイコロの目が奇数である確率は $\frac{1}{2}$、偶数である確率も $\frac{1}{2}$ です。

したがって、8回中5回奇数が出る確率は、二項定理より、

$${}_8 C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = {}_8 C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{8!}{5!3!} \cdot \frac{1}{256} = \frac{56}{256} = \frac{7}{32}$$

3. 最終的な答え

(1) 原点Oに到達する確率: $\frac{35}{128}$

(2) 点Aに到達する確率: $\frac{7}{32}$