与えられた複数の数式を計算し、最も簡単な形で表現します。

はい、承知いたしました。与えられた画像にある6つの数式をそれぞれ計算します。

1. 問題の内容

与えられた複数の数式を計算し、最も簡単な形で表現します。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2}$

通分して計算します。

$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) + (x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x+1}{x^2+x-2}$

(2) $\frac{1}{3x} - \frac{1}{3x+1}$

通分して計算します。

$\frac{1}{3x} - \frac{1}{3x+1} = \frac{(3x+1) - 3x}{3x(3x+1)} = \frac{1}{3x(3x+1)} = \frac{1}{9x^2+3x}$

(3) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x(x-1)}$

通分して計算します。

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x(x-1)} = \frac{x - 1}{x(x-1)} = \frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x}$

(4) $\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x^2+x}$

$x^2+x = x(x+1)$を利用して通分します。

$\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x(x+1)} = \frac{2x + 3}{x(x+1)} = \frac{2x+3}{x^2+x}$

(5) $\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2-2x-3}$

$x^2-2x-3 = (x+1)(x-3)$を利用して通分します。

$\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{(x+1)(x-3)} = \frac{x(x-3) + (3x-1)}{(x+1)(x-3)} = \frac{x^2 - 3x + 3x - 1}{(x+1)(x-3)} = \frac{x^2 - 1}{(x+1)(x-3)} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-3)} = \frac{x-1}{x-3}$

(6) $\frac{x+4}{x^2-2x} - \frac{3}{x^2-3x+2}$

$x^2-2x = x(x-2)$ および $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$を利用して通分します。

$\frac{x+4}{x(x-2)} - \frac{3}{(x-1)(x-2)} = \frac{(x+4)(x-1) - 3x}{x(x-1)(x-2)} = \frac{x^2 + 3x - 4 - 3x}{x(x-1)(x-2)} = \frac{x^2 - 4}{x(x-1)(x-2)} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-1)(x-2)} = \frac{x+2}{x(x-1)} = \frac{x+2}{x^2-x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2x+1}{x^2+x-2}$

(2) $\frac{1}{9x^2+3x}$

(3) $\frac{1}{x}$

(4) $\frac{2x+3}{x^2+x}$

(5) $\frac{x-1}{x-3}$

(6) $\frac{x+2}{x^2-x}$