数列 $\{a_n\}$ が関係式 $\sum_{k=1}^n (n+1-k)a_k = \frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $a_1, a_2, a_3$ を求めよ。 (2) 一般項を予想し、その予想が正しいことを数学的帰納法により証明せよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が関係式 $\sum_{k=1}^n (n+1-k)a_k = \frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $a_1, a_2, a_3$ を求めよ。

(2) 一般項を予想し、その予想が正しいことを数学的帰納法により証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき、与えられた式は

$\sum_{k=1}^1 (1+1-k)a_k = (1+1-1)a_1 = a_1 = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (1+1)(1+2) = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1$

より、$a_1 = 1$。

$n=2$ のとき、与えられた式は

$\sum_{k=1}^2 (2+1-k)a_k = (2+1-1)a_1 + (2+1-2)a_2 = 2a_1 + a_2 = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot (2+1)(2+2) = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 4$

$2a_1 + a_2 = 4$ より、$2 \cdot 1 + a_2 = 4$。したがって、$a_2 = 4-2 = 2$。

$n=3$ のとき、与えられた式は

$\sum_{k=1}^3 (3+1-k)a_k = (3+1-1)a_1 + (3+1-2)a_2 + (3+1-3)a_3 = 3a_1 + 2a_2 + a_3 = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot (3+1)(3+2) = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 10$

$3a_1 + 2a_2 + a_3 = 10$ より、$3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + a_3 = 10$。したがって、$a_3 = 10 - 3 - 4 = 3$。

(2) (1) の結果から、一般項は $a_n = n$ と予想できる。

これを数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = 1$ であるから、$a_n = n$ は成り立つ。

(ii) $n=m$ のとき、$a_k = k$ が $k=1, 2, ..., m$ で成り立つと仮定する。

このとき、$n=m+1$ のとき、与えられた式は

$\sum_{k=1}^{m+1} (m+2-k)a_k = \frac{1}{6}(m+1)(m+2)(m+3)$

$\sum_{k=1}^{m+1} (m+2-k)a_k = \sum_{k=1}^{m} (m+2-k)a_k + a_{m+1} = \sum_{k=1}^{m} (m+1-k)a_k + \sum_{k=1}^{m} a_k + a_{m+1}$

$\sum_{k=1}^{m} (m+1-k)a_k = \frac{1}{6}m(m+1)(m+2)$ (仮定)

$\sum_{k=1}^{m} a_k = \sum_{k=1}^{m} k = \frac{1}{2}m(m+1)$ (仮定)

よって、

$\frac{1}{6}m(m+1)(m+2) + \frac{1}{2}m(m+1) + a_{m+1} = \frac{1}{6}(m+1)(m+2)(m+3)$

$a_{m+1} = \frac{1}{6}(m+1)(m+2)(m+3) - \frac{1}{6}m(m+1)(m+2) - \frac{1}{2}m(m+1)$

$a_{m+1} = \frac{1}{6}(m+1)(m+2)(m+3-m) - \frac{1}{2}m(m+1)$

$a_{m+1} = \frac{1}{6}(m+1)(m+2) \cdot 3 - \frac{1}{2}m(m+1) = \frac{1}{2}(m+1)(m+2-m) = \frac{1}{2}(m+1) \cdot 2 = m+1$

したがって、$n=m+1$ のときも、$a_n = n$ は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n = n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3$

(2) $a_n = n$