与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ について、以下の問いに答える。 (1) 点 $(-2, 2)$ が放物線上にあるときの $a$ の値を求める。 (2) $a = 2$ のときの放物線を $C_1$、$a = -\frac{1}{2}$ のときの放物線を $C_2$ とおく。$C_1$ は $C_2$ を $x$ 軸方向、y 軸方向にそれぞれどれだけ平行移動したものか求める。 (3) $-1 \le a \le 1$ のとき、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標の最小値を求める。 (4) $0 < a < 2$ とする。$0 \le x \le 2$ における $y$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 4$ となるような $a$ の値を小さい方から順に求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ について、以下の問いに答える。

(1) 点 $(-2, 2)$ が放物線上にあるときの $a$ の値を求める。

(2) $a = 2$ のときの放物線を $C_1$、$a = -\frac{1}{2}$ のときの放物線を $C_2$ とおく。$C_1$ は $C_2$ を $x$ 軸方向、y 軸方向にそれぞれどれだけ平行移動したものか求める。

(3) $-1 \le a \le 1$ のとき、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

(4) $0 < a < 2$ とする。$0 \le x \le 2$ における $y$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 4$ となるような $a$ の値を小さい方から順に求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(-2, 2)$ が放物線 $y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ 上にあるので、$x = -2, y = 2$ を代入する。

$2 = 2(-2)^2 - 4a(-2) - a + 1$

$2 = 8 + 8a - a + 1$

$2 = 9 + 7a$

$7a = -7$

$a = -1$

(2) $a = 2$ のとき、$y = 2x^2 - 8x - 2 + 1 = 2x^2 - 8x - 1$

$a = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = 2x^2 + 2x + \frac{1}{2} + 1 = 2x^2 + 2x + \frac{3}{2}$

$C_1: y = 2(x^2 - 4x) - 1 = 2(x - 2)^2 - 8 - 1 = 2(x - 2)^2 - 9$

$C_2: y = 2(x^2 + x) + \frac{3}{2} = 2(x + \frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{4}) + \frac{3}{2} = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2(x + \frac{1}{2})^2 + 1$

$C_1$ の頂点は $(2, -9)$、$C_2$ の頂点は $(-\frac{1}{2}, 1)$

$x$ 軸方向への移動量: $2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{2}$

$y$ 軸方向への移動量: $-9 - 1 = -10$

(3) $y = 2x^2 - 4ax - a + 1 = 2(x^2 - 2ax) - a + 1 = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a + 1$

頂点の $y$ 座標は $f(a) = -2a^2 - a + 1$

$f(a) = -2(a^2 + \frac{1}{2}a) + 1 = -2(a + \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + 1 = -2(a + \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8}$

$-1 \le a \le 1$ より、$a = 1$ のとき最小値をとる。

$f(1) = -2(1)^2 - 1 + 1 = -2$

(4) $y = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a + 1$

軸は $x = a$、$0 < a < 2$

$0 \le x \le 2$ における最大値 $M$、最小値 $m$

$M - m = 4$

$a$ が 0 から 2 の間にある場合、最小値は頂点の $y$ 座標 $m = -2a^2 - a + 1$

最大値は $x = 0$ または $x = 2$ のときにとる。

$x = 0$ のとき $y = -a + 1$

$x = 2$ のとき $y = 8 - 8a - a + 1 = 9 - 9a$

$0 < a < 1$ のとき、$9 - 9a > -a + 1$ なので、$M = 9 - 9a$

$1 < a < 2$ のとき、$9 - 9a < -a + 1$ なので、$M = -a + 1$

$0 < a < 1$ のとき、$M - m = (9 - 9a) - (-2a^2 - a + 1) = 2a^2 - 8a + 8 = 4$

$2a^2 - 8a + 4 = 0$

$a^2 - 4a + 2 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

$0 < a < 1$ なので、$a = 2 - \sqrt{2}$

$1 < a < 2$ のとき、$M - m = (-a + 1) - (-2a^2 - a + 1) = 2a^2 = 4$

$a^2 = 2$

$a = \pm \sqrt{2}$

$1 < a < 2$ なので、$a = \sqrt{2}$

したがって、小さい順に $2 - \sqrt{2}, \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) $\frac{5}{2}$, -10

(3) -2

(4) $2 - \sqrt{2}$, $\sqrt{2}$