方程式 $|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数を、$k$ の値によって分類せよ。

1. 問題の内容

方程式 $|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数を、$k$ の値によって分類せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = |x^2 - 1|$ のグラフを描きます。

$y = x^2 - 1$ のグラフは、下に凸の放物線であり、$x$軸との交点は $x = \pm 1$ 、$y$切片は $-1$ です。

$y = |x^2 - 1|$ のグラフは、$y = x^2 - 1$ のグラフの、$y < 0$ の部分を $x$軸に関して折り返したものです。

したがって、$y = |x^2 - 1|$ のグラフは、$x = \pm 1$ で $x$軸と交わり、$y$軸との交点は $(0, 1)$、頂点は $(0, 1)$ となります。

また、$x^2 - 1 = 0$ となるのは $x = \pm 1$ のときであり、$x = 0$ のとき $|x^2 - 1| = 1$です。

次に、$y = k$ のグラフを描きます。これは、$x$軸に平行な直線です。

$y = |x^2 - 1|$ のグラフと $y = k$ のグラフの交点の個数が、方程式 $|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数です。

$k < 0$ のとき、交点はありません。

$k = 0$ のとき、交点は $x = \pm 1$ の2個です。

$0 < k < 1$ のとき、交点は4個です。

$k = 1$ のとき、交点は3個です。

$k > 1$ のとき、交点は2個です。

3. 最終的な答え

$k < 0$ のとき、実数解の個数は0個

$k = 0$ のとき、実数解の個数は2個

$0 < k < 1$ のとき、実数解の個数は4個

$k = 1$ のとき、実数解の個数は3個

$k > 1$ のとき、実数解の個数は2個