$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \tan \theta = -\frac{3}{2}$ である。$\cos \theta$ の値を、選択肢a~eの中から選びなさい。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \tan \theta = -\frac{3}{2}$ である。$\cos \theta$ の値を、選択肢a~eの中から選びなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、与えられた式は

$\sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{3}{2}$

$\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = -\frac{3}{2}$

$\sin^2 \theta = -\frac{3}{2} \cos \theta$

次に、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という関係式より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ であるから、

$1 - \cos^2 \theta = -\frac{3}{2} \cos \theta$

両辺に2を掛けて整理すると、

$2 - 2\cos^2 \theta = -3 \cos \theta$

$2\cos^2 \theta - 3 \cos \theta - 2 = 0$

ここで、$x = \cos \theta$ とおくと、$2x^2 - 3x - 2 = 0$ となる。

この二次方程式を解くと、

$(2x+1)(x-2) = 0$

$x = -\frac{1}{2}$ または $x = 2$

したがって、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ または $\cos \theta = 2$ となる。

しかし、$-1 \leq \cos \theta \leq 1$ であるから、$\cos \theta = 2$ は不適である。

したがって、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ である。

また、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より、$\sin \theta > 0$ である。

$\sin \theta \tan \theta = -\frac{3}{2}$ より、$\tan \theta < 0$ である。

したがって、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ である。

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ はこの範囲を満たす。

3. 最終的な答え

c $-\frac{1}{2}$