赤玉4個と白玉2個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻す、という試行を4回繰り返すとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉4個と白玉2個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻す、という試行を4回繰り返すとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題です。

1回の試行で赤玉が出る確率を $p$ とすると、

$p = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

1回の試行で白玉が出る確率は $1-p = 1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ です。

4回の試行で赤玉が2回出る確率は、二項分布の公式を用いて計算できます。

確率を $P$ とすると、

$P = {}_4C_2 \times p^2 \times (1-p)^{4-2} = {}_4C_2 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^2$

${}_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

よって、

$P = 6 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{27}$