与えられた7つの2次式をそれぞれ因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた7つの2次式をそれぞれ因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 7x - 15$

まず、$2$と$-15$の積を計算すると$-30$となる。

次に、積が$-30$、和が$-7$となる2つの数を見つける。それは$3$と$-10$である。

そこで、$2x^2 - 7x - 15 = 2x^2 + 3x - 10x - 15$ と変形する。

$2x^2 + 3x - 10x - 15 = x(2x + 3) - 5(2x + 3) = (x - 5)(2x + 3)$ となる。

(2) $3x^2 + x - 10$

まず、$3$と$-10$の積を計算すると$-30$となる。

次に、積が$-30$、和が$1$となる2つの数を見つける。それは$6$と$-5$である。

そこで、$3x^2 + x - 10 = 3x^2 + 6x - 5x - 10$ と変形する。

$3x^2 + 6x - 5x - 10 = 3x(x + 2) - 5(x + 2) = (3x - 5)(x + 2)$ となる。

(3) $5x^2 - 4x - 12$

まず、$5$と$-12$の積を計算すると$-60$となる。

次に、積が$-60$、和が$-4$となる2つの数を見つける。それは$6$と$-10$である。

そこで、$5x^2 - 4x - 12 = 5x^2 + 6x - 10x - 12$ と変形する。

$5x^2 + 6x - 10x - 12 = x(5x + 6) - 2(5x + 6) = (x - 2)(5x + 6)$ となる。

(4) $7x^2 + 25x + 12$

まず、$7$と$12$の積を計算すると$84$となる。

次に、積が$84$、和が$25$となる2つの数を見つける。それは$4$と$21$である。

そこで、$7x^2 + 25x + 12 = 7x^2 + 4x + 21x + 12$ と変形する。

$7x^2 + 4x + 21x + 12 = x(7x + 4) + 3(7x + 4) = (x + 3)(7x + 4)$ となる。

(5) $8x^2 - 6x - 35$

まず、$8$と$-35$の積を計算すると$-280$となる。

次に、積が$-280$、和が$-6$となる2つの数を見つける。それは$14$と$-20$である。

そこで、$8x^2 - 6x - 35 = 8x^2 + 14x - 20x - 35$ と変形する。

$8x^2 + 14x - 20x - 35 = 2x(4x + 7) - 5(4x + 7) = (2x - 5)(4x + 7)$ となる。

(6) $12x^2 - 8x - 15$

まず、$12$と$-15$の積を計算すると$-180$となる。

次に、積が$-180$、和が$-8$となる2つの数を見つける。それは$10$と$-18$である。

そこで、$12x^2 - 8x - 15 = 12x^2 + 10x - 18x - 15$ と変形する。

$12x^2 + 10x - 18x - 15 = 2x(6x + 5) - 3(6x + 5) = (2x - 3)(6x + 5)$ となる。

(7) $12x^2 + 13x - 14$

まず、$12$と$-14$の積を計算すると$-168$となる。

次に、積が$-168$、和が$13$となる2つの数を見つける。それは$-8$と$21$である。

そこで、$12x^2 + 13x - 14 = 12x^2 - 8x + 21x - 14$ と変形する。

$12x^2 - 8x + 21x - 14 = 4x(3x - 2) + 7(3x - 2) = (4x + 7)(3x - 2)$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 5)(2x + 3)$

(2) $(3x - 5)(x + 2)$

(3) $(x - 2)(5x + 6)$

(4) $(x + 3)(7x + 4)$

(5) $(2x - 5)(4x + 7)$

(6) $(2x - 3)(6x + 5)$

(7) $(4x + 7)(3x - 2)$