A君とB君がじゃんけんを5回行うとき、A君が3回勝つ確率を求める問題です。ただし、引き分けも1回の回数に含めます。

1. 問題の内容

A君とB君がじゃんけんを5回行うとき、A君が3回勝つ確率を求める問題です。ただし、引き分けも1回の回数に含めます。

2. 解き方の手順

まず、じゃんけん1回におけるA君が勝つ確率、負ける確率、引き分けの確率を考えます。

A君が勝つ確率は $1/3$、負ける確率は $1/3$、引き分けの確率は $1/3$ です。

5回のじゃんけんでA君が3回勝つということは、残りの2回はA君が負けるか、引き分けるかのいずれかです。

A君が3回勝つ、2回負ける（または引き分け）というパターンを考えます。これは二項分布の問題として考えることができます。

5回のうちA君が3回勝つ組み合わせの数は、二項係数 ${}_5 C_3$ で求められます。

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、A君が3回勝ち、残りの2回が負けまたは引き分けである確率を計算します。A君が勝つ確率は $1/3$ であり、残りの2回で負けまたは引き分けとなる確率は $(2/3)^2$ です。

したがって、A君が3回勝ち、残りの2回が負けまたは引き分けとなる確率は、

$(\frac{1}{3})^3 \times (\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{243}$

これに、A君が3回勝つ組み合わせの数 ${}_5 C_3 = 10$ を掛け合わせると、求める確率が得られます。

$10 \times \frac{4}{243} = \frac{40}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{40}{243}$