A君とB君がじゃんけんを6回行うとき、A君が4回勝つ確率を求めよ。ただし、引き分けは回数に含むものとする。

1. 問題の内容

A君とB君がじゃんけんを6回行うとき、A君が4回勝つ確率を求めよ。ただし、引き分けは回数に含むものとする。

2. 解き方の手順

まず、1回のじゃんけんでA君が勝つ確率、負ける確率、引き分ける確率を考えます。A君が勝つ確率は$1/3$、負ける確率は$1/3$、引き分ける確率は$1/3$です。

A君が4回勝つということは、残りの2回は負けるか引き分けるかのいずれかです。考えられるパターンは、

(1) 4回勝ち、2回負け

(2) 4回勝ち、1回負け、1回引き分け

(3) 4回勝ち、2回引き分け

の3通りです。

それぞれの確率を計算します。

(1) 4回勝ち、2回負けの場合：

6回のうち4回勝つ選び方は${}_6 C_4$通り。残りの2回は負けなので確率は

${}_6 C_4 \times (\frac{1}{3})^4 \times (\frac{1}{3})^2 = 15 \times (\frac{1}{3})^6 = \frac{15}{729}$

(2) 4回勝ち、1回負け、1回引き分けの場合：

6回のうち4回勝つ選び方は${}_6 C_4$通り。残りの2回のうち1回負ける選び方は${}_2 C_1$通り。

${}_6 C_4 \times {}_2 C_1 \times (\frac{1}{3})^4 \times (\frac{1}{3})^1 \times (\frac{1}{3})^1 = 15 \times 2 \times (\frac{1}{3})^6 = \frac{30}{729}$

(3) 4回勝ち、2回引き分けの場合：

6回のうち4回勝つ選び方は${}_6 C_4$通り。残りの2回は引き分け。

${}_6 C_4 \times (\frac{1}{3})^4 \times (\frac{1}{3})^2 = 15 \times (\frac{1}{3})^6 = \frac{15}{729}$

それぞれの確率を足し合わせます。

$\frac{15}{729} + \frac{30}{729} + \frac{15}{729} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{20}{243}$