当たりくじが4本、はずれくじが6本の合計10本のくじがある。1本引いて当たりか外れかを確認し、引いたくじを戻さずに、さらにもう1本引く。1回目に当たりくじを引く事象をA、1回目にはずれくじを引く事象をB、2回目に当たりくじを引く事象をCとする。このとき、条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求めよ。

1. 問題の内容

当たりくじが4本、はずれくじが6本の合計10本のくじがある。1本引いて当たりか外れかを確認し、引いたくじを戻さずに、さらにもう1本引く。1回目に当たりくじを引く事象をA、1回目にはずれくじを引く事象をB、2回目に当たりくじを引く事象をCとする。このとき、条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

条件付き確率の定義より、$P_A(C) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)}$ および $P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)}$ となる。

まず、$P(A)$ を計算する。1回目に当たりくじを引く確率は、$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ である。

次に、$P(A \cap C)$ を計算する。1回目に当たりを引き、2回目にも当たりを引く確率である。1回目に当たりを引く確率は $\frac{4}{10}$ である。1回目に当たりを引いた後、当たりくじは3本、はずれくじは6本の合計9本が残る。したがって、2回目に当たりを引く確率は $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ である。よって、

$P(A \cap C) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$

したがって、

$P_A(C) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{4}{10}} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{2}{5}} = \frac{2}{15} \times \frac{5}{2} = \frac{1}{3}$

次に、$P(B)$ を計算する。1回目にはずれくじを引く確率は、$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ である。

次に、$P(B \cap C)$ を計算する。1回目にはずれを引き、2回目に当たりを引く確率である。1回目にはずれを引く確率は $\frac{6}{10}$ である。1回目にはずれを引いた後、当たりくじは4本、はずれくじは5本の合計9本が残る。したがって、2回目に当たりを引く確率は $\frac{4}{9}$ である。よって、

$P(B \cap C) = \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$

したがって、

$P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{6}{10}} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{15} \times \frac{5}{3} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

$P_A(C) = \frac{1}{3}$

$P_B(C) = \frac{4}{9}$