2つの直線 $l$ と $m$ があり、直線 $l$ の式は $y = x - 1$、直線 $m$ の式は $y = \frac{1}{4}x + 5$ である。点Aは直線 $l$ 上の点で、$x$ 座標は 4 である。点Bは直線 $l$ と $m$ の交点、点Cは直線 $m$ と $y$ 軸の交点である。 (1) 点Aの $y$ 座標を求めよ。 (2) 2点A, C を通る直線の式を求めよ。 (3) 点Bの座標を求めよ。 (4) 直線AC上に点Dをとる。三角形ABCの面積と三角形ODCの面積が等しいとき、点Dの $x$ 座標を求めよ。ただし、点Dの $x$ 座標は正の数とする。

1. 問題の内容

2つの直線 $l$ と $m$ があり、直線 $l$ の式は $y = x - 1$、直線 $m$ の式は $y = \frac{1}{4}x + 5$ である。点Aは直線 $l$ 上の点で、$x$ 座標は 4 である。点Bは直線 $l$ と $m$ の交点、点Cは直線 $m$ と $y$ 軸の交点である。

(1) 点Aの $y$ 座標を求めよ。

(2) 2点A, C を通る直線の式を求めよ。

(3) 点Bの座標を求めよ。

(4) 直線AC上に点Dをとる。三角形ABCの面積と三角形ODCの面積が等しいとき、点Dの $x$ 座標を求めよ。ただし、点Dの $x$ 座標は正の数とする。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの $y$ 座標は、直線 $l$ の式 $y = x - 1$ に $x = 4$ を代入することで求められる。

$y = 4 - 1 = 3$

したがって、点Aの座標は (4, 3) である。

(2) 点Cは直線 $m$ と $y$ 軸の交点なので、$x = 0$ を $y = \frac{1}{4}x + 5$ に代入すると、

$y = \frac{1}{4}(0) + 5 = 5$

したがって、点Cの座標は (0, 5) である。

2点A (4, 3) と C (0, 5) を通る直線の式を $y = ax + b$ とすると、

$3 = 4a + 5$

$5 = 0a + b$

これより、$b = 5$、$4a = -2$、$a = -\frac{1}{2}$

したがって、直線ACの式は $y = -\frac{1}{2}x + 5$ である。

(3) 点Bは直線 $l$ と $m$ の交点なので、$y = x - 1$ と $y = \frac{1}{4}x + 5$ を連立して解く。

$x - 1 = \frac{1}{4}x + 5$

$\frac{3}{4}x = 6$

$x = 8$

$y = 8 - 1 = 7$

したがって、点Bの座標は (8, 7) である。

(4) 点Dは直線AC上にあるので、点Dの座標を $(x, -\frac{1}{2}x + 5)$ とおく。

三角形ABCの面積は、底辺AC、高さ (Bのx座標) で求められる。ACを底辺としたときの高さは点Bのx座標から点A, Cを通る直線と点Bの距離を計算して求めることもできる。

AC = $\sqrt{(4-0)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

C(0,5), A(4,3), B(8,7)

三角形ODCの面積は $\frac{1}{2} \times OC \times |x_D| = \frac{1}{2} \times 5 \times x = \frac{5}{2}x$ （$x > 0$）。

三角形ABCの面積は、

$S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = \frac{1}{2} |4(7-5) + 8(5-3) + 0(3-7)| = \frac{1}{2} |8 + 16| = 12$

三角形ODCの面積が三角形ABCの面積と等しいとき、

$\frac{5}{2}x = 12$

$x = \frac{24}{5}$

したがって、点Dの $x$ 座標は $\frac{24}{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $y = -\frac{1}{2}x + 5$

(3) (8, 7)

(4) $\frac{24}{5}$