当たりくじが5本、はずれくじが8本入った箱から、くじを1本引いて当たりか外れかを確認し、引いたくじを戻さずに、もう1本くじを引く。 1度目に当たりくじを引く事象をA、1度目にはずれくじを引く事象をB、2度目に当たりくじを引く事象をCとする。このとき、条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求めよ。

1. 問題の内容

当たりくじが5本、はずれくじが8本入った箱から、くじを1本引いて当たりか外れかを確認し、引いたくじを戻さずに、もう1本くじを引く。

1度目に当たりくじを引く事象をA、1度目にはずれくじを引く事象をB、2度目に当たりくじを引く事象をCとする。このとき、条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$P_A(C)$ を求める。これは、1度目に当たりくじを引いたという条件の下で、2度目に当たりくじを引く確率である。

1度目に当たりくじを引く確率は $5/13$ である。1度目に当たりくじを引いたとき、残りのくじは当たりくじが4本、はずれくじが8本の計12本となる。したがって、2度目に当たりくじを引く確率は $4/12 = 1/3$ である。

したがって、$P_A(C) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

次に、$P_B(C)$ を求める。これは、1度目にはずれくじを引いたという条件の下で、2度目に当たりくじを引く確率である。

1度目にはずれくじを引く確率は $8/13$ である。1度目にはずれくじを引いたとき、残りのくじは当たりくじが5本、はずれくじが7本の計12本となる。したがって、2度目に当たりくじを引く確率は $5/12$ である。

したがって、$P_B(C) = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

$P_A(C) = \frac{1}{3}$

$P_B(C) = \frac{5}{12}$