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2次関数 $y = -2x^2 + 4x + 5$ の最大値を求めよ。

代数学二次関数最大値平方完成
2025/7/31

1. 問題の内容

2次関数 y=−2x2+4x+5y = -2x^2 + 4x + 5 の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数は y=−2x2+4x+5y = -2x^2 + 4x + 5 です。
この関数を平方完成して、最大値を求めます。
まず、x2x^2 の係数でくくります。
y=−2(x2−2x)+5y = -2(x^2 - 2x) + 5
次に、括弧の中を平方完成します。x2−2x=(x−1)2−1x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 であるから、
y=−2((x−1)2−1)+5y = -2((x - 1)^2 - 1) + 5
括弧を展開します。
y=−2(x−1)2+2+5y = -2(x - 1)^2 + 2 + 5
y=−2(x−1)2+7y = -2(x - 1)^2 + 7
この式から、x=1x = 1 のとき最大値 77 をとることがわかります。
なぜなら、(x−1)2(x-1)^2 は常に0以上であり、−2(x−1)2-2(x-1)^2 は常に0以下なので、yy の最大値は (x−1)2=0(x-1)^2 = 0 のときに得られます。

3. 最終的な答え

7

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