2次関数 $y = 2x^2 - 3x + 4$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 3x + 4$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = 2x^2 - 3x + 4$ を平方完成させて、頂点のy座標を求めることで最小値を求める。

まず、$x^2$ の係数である2で括り出す。

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 4$

次に、括弧の中を平方完成する。

$x^2 - \frac{3}{2}x = (x - \frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2 = (x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}$

これを元の式に代入する。

$y = 2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 4$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{9}{16} + 4$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 4$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + \frac{32}{8}$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8}$

よって、頂点の座標は$(\frac{3}{4}, \frac{23}{8})$であり、最小値は$\frac{23}{8}$である。

3. 最終的な答え

$\frac{23}{8}$