問題は指数・対数に関する計算問題です。 (1) $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ (ただし、$a > 1$) のとき、$a + a^{-1}$と$a^2 - a^{-2}$の値を求める問題。 (2) $a = \log_2 3$, $b = \log_4 7$, $c = 1 + \log_2 \sqrt{3}$のとき、$6a, 6b, 6c$ を$\log_2$で表し、$a, b, c$の大小関係を求める問題。 (3) $\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$を用いて、$6^{30}$の桁数と、$(\frac{1}{15})^{30}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題。

1. 問題の内容

問題は指数・対数に関する計算問題です。

(1) $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ (ただし、$a > 1$) のとき、$a + a^{-1}$と$a^2 - a^{-2}$の値を求める問題。

(2) $a = \log_2 3$, $b = \log_4 7$, $c = 1 + \log_2 \sqrt{3}$のとき、$6a, 6b, 6c$ を$\log_2$で表し、$a, b, c$の大小関係を求める問題。

(3) $\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$を用いて、$6^{30}$の桁数と、$(\frac{1}{15})^{30}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a + a^{-1}$の値を求める。$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ の両辺を2乗すると、

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = 3^2$

$a + 2 + a^{-1} = 9$

$a + a^{-1} = 7$

次に、$a^2 - a^{-2}$の値を求める。

$a^2 - a^{-2} = (a + a^{-1})(a - a^{-1})$ である。

ここで、$a - a^{-1}$ を求める。 $(a + a^{-1})^2 - (a - a^{-1})^2 = 4$なので、$a - a^{-1} = \pm\sqrt{(a + a^{-1})^2 - 4} = \pm \sqrt{7^2 - 4} = \pm \sqrt{45} = \pm 3\sqrt{5}$

$a > 1$ より、$a^{\frac{1}{2}} > a^{-\frac{1}{2}}$ であり、$a > a^{-1}$となるため、$a-a^{-1} > 0$なので、$a - a^{-1} = 3\sqrt{5}$

したがって、$a^2 - a^{-2} = (a + a^{-1})(a - a^{-1}) = 7 \cdot 3\sqrt{5} = 21\sqrt{5}$

(2)

$6a = 6\log_2 3 = \log_2 3^6 = \log_2 729$

$6b = 6\log_4 7 = 6 \cdot \frac{\log_2 7}{\log_2 4} = 6 \cdot \frac{\log_2 7}{2} = 3 \log_2 7 = \log_2 7^3 = \log_2 343$

$6c = 6(1 + \log_2 \sqrt{3}) = 6 + 6\log_2 \sqrt{3} = \log_2 2^6 + \log_2 (\sqrt{3})^6 = \log_2 64 + \log_2 3^3 = \log_2 64 + \log_2 27 = \log_2 (64 \cdot 27) = \log_2 1728$

$6b < 6a < 6c$ より、$b < a < c$

(3)

$6^{30}$の桁数を求める。$\log_{10} 6^{30} = 30 \log_{10} 6 = 30 (\log_{10} 2 + \log_{10} 3) = 30 (0.3010 + 0.4771) = 30 \cdot 0.7781 = 23.343$

よって、桁数は $23 + 1 = 24$ 桁。

$(\frac{1}{15})^{30}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$\log_{10} (\frac{1}{15})^{30} = 30 \log_{10} \frac{1}{15} = 30 (\log_{10} 1 - \log_{10} 15) = 30 (0 - (\log_{10} 3 + \log_{10} 5)) = -30(\log_{10} 3 + \log_{10} \frac{10}{2}) = -30(\log_{10} 3 + 1 - \log_{10} 2) = -30(0.4771 + 1 - 0.3010) = -30(1.1761) = -35.283$

よって、小数第36位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

(1) $a + a^{-1} = 7$, $a^2 - a^{-2} = 21\sqrt{5}$

(2) $b < a < c$

(3) 24桁、小数第36位