2次関数 $y = x^2 - 2x + 3$ について、$ -2 \le x < 2$ の範囲における $y$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 3$ について、$-2 \le x < 2$ の範囲における $y$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2$

この関数の頂点は $(1, 2)$ です。軸は $x=1$ であり、定義域 $-2 \le x < 2$ の範囲内に軸が含まれています。

次に、定義域の端点における $y$ の値を求めます。

$x = -2$ のとき、

$y = (-2)^2 - 2(-2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$

$x = 2$ のとき、

$y = (2)^2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$

$x=1$のとき、$y=(1-1)^2 + 2 = 2$。

$x=-2$における$y$の値は$11$。

$x=2$における$y$の値は$3$。

頂点の$y$座標は$2$。

定義域$-2 \le x < 2$において、関数は$x=-2$のとき最大値$11$をとり、$x$が$2$に近づくにつれて$y$の値は$3$に近づきます。また、頂点の$y$座標が$2$なので最小値は$2$となります。

したがって、$y$ の値の範囲は $2 \le y \le 11$ となります。ただし、$x<2$なので、$y=3$は含まれません。

3. 最終的な答え

$2 \le y \le 11$