2次関数 $y = -3x^2 - 12x + 6$ において、$-1 \le x < 1$ の範囲での $y$ のとり得る値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -3x^2 - 12x + 6$ において、$-1 \le x < 1$ の範囲での $y$ のとり得る値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求めます。

$y = -3x^2 - 12x + 6$

$y = -3(x^2 + 4x) + 6$

$y = -3(x^2 + 4x + 4 - 4) + 6$

$y = -3((x+2)^2 - 4) + 6$

$y = -3(x+2)^2 + 12 + 6$

$y = -3(x+2)^2 + 18$

したがって、この2次関数の頂点は $(-2, 18)$ です。上に凸なグラフになります。

次に、与えられた定義域の端点での $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき、

$y = -3(-1)^2 - 12(-1) + 6 = -3 + 12 + 6 = 15$

$x = 1$ のとき、

$y = -3(1)^2 - 12(1) + 6 = -3 - 12 + 6 = -9$

ここで、頂点の $x$ 座標は $-2$ であり、これは与えられた定義域 $-1 \le x < 1$ の外にあるため、定義域内に頂点は含まれません。

$x = -1$ は定義域に含まれるので、$y=15$ は $y$ の値の範囲に含まれます。

$x=1$ は定義域に含まれないため、$y=-9$ は $y$ の値の範囲には含まれません。$x$ が1に限りなく近い値を取るとき、$y$ の値も $-9$ に限りなく近づきます。

$x=-1$ のときに $y=15$ となり、$x$ が $-1$ から $1$ に向かって増加すると、$y$ の値は減少していきます。

頂点の $y$ 座標は $18$ ですが、頂点の $x$ 座標は $-2$ であり、これは与えられた定義域の外にあるため、$y$ の最大値は定義域の左端 $x = -1$ における $y = 15$ です。

定義域の右端 $x < 1$ では、$y$ の値は $-9$ に限りなく近づきますが、$-9$ は含まれません。

3. 最終的な答え

$-9 < y \le 15$