$x+y+z+w=7$ を満たす自然数の組 $(x, y, z, w)$ は全部で何組あるか。

1. 問題の内容

$x+y+z+w=7$ を満たす自然数の組 $(x, y, z, w)$ は全部で何組あるか。

2. 解き方の手順

$x, y, z, w$ は自然数なので、$x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1, w \ge 1$ である。

そこで、

$x' = x-1, y' = y-1, z' = z-1, w' = w-1$ とおくと、$x', y', z', w'$ は非負整数となる。

$x = x'+1, y = y'+1, z = z'+1, w = w'+1$ を与えられた式に代入すると、

$(x'+1) + (y'+1) + (z'+1) + (w'+1) = 7$

$x' + y' + z' + w' + 4 = 7$

$x' + y' + z' + w' = 3$

となる。これは非負整数解の個数を求める問題となる。

一般に、$x_1 + x_2 + \dots + x_n = k$ を満たす非負整数解の個数は、

$_{n+k-1}C_k$ で与えられる。

今回の場合は、$n = 4, k = 3$ なので、求める解の個数は、

$_{4+3-1}C_3 = _6C_3$

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

3. 最終的な答え

20組