二次不等式 $z^2 + 6z + 11 < 0$ を解く。

1. 問題の内容

二次不等式 $z^2 + 6z + 11 < 0$ を解く。

2. 解き方の手順

与えられた二次不等式を解くために、まず二次方程式 $z^2 + 6z + 11 = 0$ の解を求めます。解の公式を利用します。

解の公式は、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ に対して、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられます。

この問題の場合、$a = 1, b = 6, c = 11$ ですので、解は次のようになります。

$z = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

$z = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 44}}{2}$

$z = \frac{-6 \pm \sqrt{-8}}{2}$

根号の中が負の数であるため、実数解は存在しません。したがって、この二次関数 $z^2 + 6z + 11$ は常に正の値を取るか、常に負の値を取るかのどちらかです。

$z^2 + 6z + 11$ を平方完成します。

$z^2 + 6z + 11 = (z^2 + 6z + 9) + 2 = (z + 3)^2 + 2$

$(z + 3)^2$ は常に0以上の値を取るので、 $(z + 3)^2 + 2$ は常に2以上の値を取ります。

したがって、$z^2 + 6z + 11 > 0$ は常に成り立ち、$z^2 + 6z + 11 < 0$ を満たす実数 $z$ は存在しません。

3. 最終的な答え

解なし