$k$ を定数とし、$x$ の2次関数 $y = x^2 - 4kx + 3k^2 + 2k + 2$ の最小値を $m$ とする。 (1) $m$ を $k$ の式で表せ。 (2) $k$ の値を $0 \le k \le 3$ の範囲で変化させたとき、$m$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を定数とし、$x$ の2次関数 $y = x^2 - 4kx + 3k^2 + 2k + 2$ の最小値を $m$ とする。

(1) $m$ を $k$ の式で表せ。

(2) $k$ の値を $0 \le k \le 3$ の範囲で変化させたとき、$m$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = x^2 - 4kx + 3k^2 + 2k + 2$ を平方完成させる。

$y = (x^2 - 4kx) + 3k^2 + 2k + 2$

$y = (x^2 - 4kx + 4k^2) - 4k^2 + 3k^2 + 2k + 2$

$y = (x - 2k)^2 - k^2 + 2k + 2$

したがって、頂点の座標は $(2k, -k^2 + 2k + 2)$ である。

最小値 $m$ は、頂点の $y$ 座標に等しいので、

$m = -k^2 + 2k + 2$

(2) $m = -k^2 + 2k + 2$ を平方完成させる。

$m = -(k^2 - 2k) + 2$

$m = -(k^2 - 2k + 1) + 1 + 2$

$m = -(k - 1)^2 + 3$

これは上に凸な放物線であり、頂点は $(1, 3)$ である。

$k$ の範囲は $0 \le k \le 3$ であるから、$m$ は $k = 1$ のとき最大値 $3$ をとる。

$k = 0$ のとき、 $m = -0^2 + 2*0 + 2 = 2$

$k = 3$ のとき、 $m = -3^2 + 2*3 + 2 = -9 + 6 + 2 = -1$

よって、$0 \le k \le 3$ の範囲において、$m$ の最大値は $3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m = -k^2 + 2k + 2$

(2) $3$