Aの袋には赤球2個と白球3個、Bの袋には赤球4個と白球3個が入っている。AとBがそれぞれ2個ずつ球を取り出し、色を確認後、袋に戻す。取り出した合計4個の球の色が全て同じであれば試行終了。 (1) 1回目の試行でAが2個とも赤球を取り出す確率を求める。 (2) 試行が1回で終了する確率を求める。 (3) 試行がちょうど2回で終了する確率を求める。 (4) 試行が3回以上続く確率を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

**【1】**

1. 問題の内容

Aの袋には赤球2個と白球3個、Bの袋には赤球4個と白球3個が入っている。AとBがそれぞれ2個ずつ球を取り出し、色を確認後、袋に戻す。取り出した合計4個の球の色が全て同じであれば試行終了。

(1) 1回目の試行でAが2個とも赤球を取り出す確率を求める。

(2) 試行が1回で終了する確率を求める。

(3) 試行がちょうど2回で終了する確率を求める。

(4) 試行が3回以上続く確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) Aが2個とも赤球を取り出す確率：

Aの袋から2個取り出す場合の数は ${}_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

そのうち、2個とも赤球である場合の数は ${}_2 C_2 = 1$ 通り。

したがって、確率は $\frac{1}{10}$。

(2) 試行が1回で終了する確率：

AとBが取り出す球の色が全て同じである必要がある。

これは、(A:赤2, B:赤2) または (A:白2, B:白2) の場合に起こる。

A:赤2、B:赤2 の確率：

Aが赤2を取り出す確率は $\frac{1}{10}$ (上記(1)より)。

Bが赤2を取り出す確率は $\frac{{}_4 C_2}{{}_7 C_2} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{\frac{7 \times 6}{2 \times 1}} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$。

よって、$\frac{1}{10} \times \frac{2}{7} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$。

A:白2、B:白2 の確率：

Aが白2を取り出す確率は $\frac{{}_3 C_2}{{}_5 C_2} = \frac{3}{10}$。

Bが白2を取り出す確率は $\frac{{}_3 C_2}{{}_7 C_2} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$。

よって、$\frac{3}{10} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{70}$。

したがって、試行が1回で終了する確率は $\frac{1}{35} + \frac{3}{70} = \frac{2}{70} + \frac{3}{70} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$。

(3) 試行がちょうど2回で終了する確率：

1回目で終了しない確率：$1 - \frac{1}{14} = \frac{13}{14}$。

2回目で終了する確率は、1回目で終了せず、2回目で終了する確率なので、$\frac{13}{14} \times \frac{1}{14} = \frac{13}{196}$。

(4) 試行が3回以上続く確率：

1回目で終了しない確率：$\frac{13}{14}$

2回目で終了しない確率：$\frac{13}{14} \times \frac{13}{14} = (\frac{13}{14})^2$

試行がn回以上続く確率は $(\frac{13}{14})^{n-1}$ で求められるので、３回以上続く確率は $(\frac{13}{14})^2 = \frac{169}{196}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{10}$

(2) $\frac{1}{14}$

(3) $\frac{13}{196}$

(4) $\frac{169}{196}$

**【2】**

1. 問題の内容

A社、B社、C社から製品を仕入れ、比率は5:3:2。不良率はそれぞれ3%, 4%, 5%。1個取り出したとき、

(1) 取り出した製品がA社の不良品である確率

(2) 取り出した製品が不良品である確率

(3) 不良品だったとき、それがA社の製品である確率

2. 解き方の手順

(1) 取り出した製品がA社の不良品である確率：

全体の製品を10個とすると、A社は5個。そのうち不良品は $5 \times 0.03 = 0.15$ 個。

全体の不良品の確率は $\frac{0.15}{10} = 0.015$。

$\frac{5}{10} \times 0.03 = 0.015$

(2) 取り出した製品が不良品である確率：

A社の不良品である確率: $\frac{5}{10} \times 0.03 = 0.015$

B社の不良品である確率: $\frac{3}{10} \times 0.04 = 0.012$

C社の不良品である確率: $\frac{2}{10} \times 0.05 = 0.010$

したがって、全体の不良品の確率は $0.015 + 0.012 + 0.010 = 0.037$。

(3) 不良品だったとき、それがA社の製品である確率：

ベイズの定理を使う。

P(A|不良) = P(不良|A) * P(A) / P(不良)

= (0.03 * 0.5) / 0.037

= 0.015 / 0.037

= 15/37

3. 最終的な答え

(1) $0.015 = \frac{3}{200}$

(2) $0.037 = \frac{37}{1000}$

(3) $\frac{15}{37}$