ある電気店がA社、B社、C社から同じ製品を仕入れている。A社、B社、C社からの仕入れ比率は5:3:2であり、各社の製品が不良品である確率はそれぞれ3%, 4%, 5%である。大量にある3社の製品をよく混ぜ、その中から1個取り出して調べるとき、以下の確率を求めよ。 (1) 取り出した製品がA社の不良品である確率 (2) 取り出した製品が不良品である確率 (3) 取り出した製品が不良品であったときに、それがA社の製品である確率

1. 問題の内容

ある電気店がA社、B社、C社から同じ製品を仕入れている。A社、B社、C社からの仕入れ比率は5:3:2であり、各社の製品が不良品である確率はそれぞれ3%, 4%, 5%である。大量にある3社の製品をよく混ぜ、その中から1個取り出して調べるとき、以下の確率を求めよ。

(1) 取り出した製品がA社の不良品である確率

(2) 取り出した製品が不良品である確率

(3) 取り出した製品が不良品であったときに、それがA社の製品である確率

2. 解き方の手順

(1) 取り出した製品がA社の不良品である確率

まず、製品がA社のものである確率を求める。これは、仕入れ比率から、$5:(5+3+2) = 5:10 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ となる。

次に、A社の製品が不良品である確率は3%なので、$0.03$である。

したがって、取り出した製品がA社の不良品である確率は、

$\frac{1}{2} \times 0.03 = 0.015$ となる。

(2) 取り出した製品が不良品である確率

A社、B社、C社の製品を取り出す確率と、それぞれの不良品率を考慮して、不良品である確率を計算する。

A社から製品を取り出す確率は$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ で、不良品率は3% = 0.03。

B社から製品を取り出す確率は$\frac{3}{10}$ で、不良品率は4% = 0.04。

C社から製品を取り出す確率は$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ で、不良品率は5% = 0.05。

したがって、不良品である確率は、

$(\frac{1}{2} \times 0.03) + (\frac{3}{10} \times 0.04) + (\frac{1}{5} \times 0.05) = 0.015 + 0.012 + 0.010 = 0.037$

(3) 取り出した製品が不良品であったときに、それがA社の製品である確率

これは条件付き確率の問題である。取り出した製品が不良品であったという条件の下で、それがA社の製品である確率を求める。

$P(A社の製品 | 不良品) = \frac{P(A社の製品 かつ 不良品)}{P(不良品)}$

$P(A社の製品 かつ 不良品) = \frac{1}{2} \times 0.03 = 0.015$

$P(不良品) = 0.037$ (上記で計算済み)

したがって、$P(A社の製品 | 不良品) = \frac{0.015}{0.037} = \frac{15}{37} \approx 0.4054$

3. 最終的な答え

(1) 0.015

(2) 0.037

(3) 15/37