問題は、不定方程式 $7x - 3y = 1$ の整数解を求める問題です。 まず、$x=1$ のときの $y$ の値を求め、次に一般解を $k$ を用いて表します。

1. 問題の内容

問題は、不定方程式 $7x - 3y = 1$ の整数解を求める問題です。

まず、$x=1$ のときの $y$ の値を求め、次に一般解を $k$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) $x=1$ のときの $y$ の値を求める

方程式 $7x - 3y = 1$ に $x=1$ を代入します。

$7(1) - 3y = 1$

$7 - 3y = 1$

$-3y = 1 - 7$

$-3y = -6$

$y = 2$

よって、$x=1$ のとき、$y=2$ です。

(2) 一般解を求める

$7x - 3y = 1$ という方程式と、すでに求めた解 $7(1) - 3(2) = 1$ を使って一般解を求めます。

$7x - 3y = 1$

$7(1) - 3(2) = 1$

上の式から下の式を引くと、

$7(x - 1) - 3(y - 2) = 0$

$7(x - 1) = 3(y - 2)$

7と3は互いに素なので、$x-1$ は3の倍数であり、$y-2$ は7の倍数です。

整数 $k$ を用いて、

$x - 1 = 3k$

$y - 2 = 7k$

と表すことができます。

したがって、

$x = 3k + 1$

$y = 7k + 2$

となります。

3. 最終的な答え

$x=1$ のとき、$y=2$

$x = 3k + 1$

$y = 7k + 2$