袋の中に赤玉が2個、白玉が3個、青玉が4個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、3個とも同じ色である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が2個、白玉が3個、青玉が4個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、3個とも同じ色である確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、袋に入っている玉の合計数を計算する。

合計: $2 + 3 + 4 = 9$個

次に、3個の玉を取り出す全ての場合の数を計算する。これは組み合わせの問題なので、9個から3個を選ぶ組み合わせを計算する。

${}_9 C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

次に、3個とも同じ色になる場合を考える。

- 3個とも赤玉の場合：赤玉は2個しかないので、3個とも赤玉になることはありえない。${}_2 C_3 = 0$

- 3個とも白玉の場合：白玉は3個あるので、3個とも白玉になる場合は ${}_3 C_3 = 1$通り。

- 3個とも青玉の場合：青玉は4個あるので、3個とも青玉になる場合は ${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$通り。

したがって、3個とも同じ色になる場合の数は、$0 + 1 + 4 = 5$通り。

求める確率は、$\frac{\text{3個とも同じ色になる場合の数}}{\text{3個の玉を取り出す全ての場合の数}} = \frac{5}{84}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{84}$