数学のテストの得点の平均値が59.0点、分散が250.0点であるとき、テストの得点を0.7倍し、その値に30点を加えたものを数学の成績とした場合の、数学の成績の平均値と分散を求めます。

## 問題1

1. 問題の内容

数学のテストの得点の平均値が59.0点、分散が250.0点であるとき、テストの得点を0.7倍し、その値に30点を加えたものを数学の成績とした場合の、数学の成績の平均値と分散を求めます。

2. 解き方の手順

* 数学の成績を $y$ 、テストの得点を $x$ とすると、$y = 0.7x + 30$ と表せます。

* 平均値の性質より、$\bar{y} = 0.7\bar{x} + 30$ が成り立ちます。ここで、$\bar{x}$ はテストの得点の平均値を表します。

* 分散の性質より、$s_y^2 = (0.7)^2 s_x^2$ が成り立ちます。ここで、$s_x^2$ はテストの得点の分散、$s_y^2$ は数学の成績の分散を表します。

$\bar{y} = 0.7 \times 59.0 + 30 = 41.3 + 30 = 71.3$

$s_y^2 = (0.7)^2 \times 250.0 = 0.49 \times 250 = 122.5$

3. 最終的な答え

数学の成績の平均値: 71.3

数学の成績の分散: 122.5

## 問題2

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ のとき、$2\cos(\theta + 60^\circ) + 1$ のとりうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

* $\theta$ の範囲から、$\theta + 60^\circ$ の範囲を求めます。

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ なので、$60^\circ \le \theta + 60^\circ \le 150^\circ$ となります。

* $\cos(\theta + 60^\circ)$ の範囲を求めます。

$\cos(\theta+60^\circ)$は$60^\circ \le \theta + 60^\circ \le 90^\circ$ で単調減少であり、$90^\circ \le \theta + 60^\circ \le 150^\circ$ で単調増加です。

$\theta+60^\circ=90^\circ$のとき$\cos(\theta+60^\circ) = \cos90^\circ = 0$

$\theta+60^\circ=60^\circ$のとき$\cos(\theta+60^\circ) = \cos60^\circ = 1/2$

$\theta+60^\circ=150^\circ$のとき$\cos(\theta+60^\circ) = \cos150^\circ = -\sqrt3 / 2$

したがって、$-\sqrt{3}/2 \le \cos(\theta + 60^\circ) \le 1/2$ となります。

* $2\cos(\theta + 60^\circ) + 1$ の範囲を求めます。

$2\cos(\theta + 60^\circ) + 1$ の範囲は、$-\sqrt{3} \le 2\cos(\theta + 60^\circ) \le 1$ より、

$-\sqrt{3} + 1 \le 2\cos(\theta + 60^\circ) + 1 \le 2$ となります。

3. 最終的な答え

$1 - \sqrt{3} \le 2\cos(\theta + 60^\circ) + 1 \le 2$