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次の連立一次方程式を解きます。 $ \begin{cases} 2x_1 + 4x_2 + x_3 - x_4 = 1 \\ x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 2 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 = -2 \\ x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 3x_4 = 0 \end{cases} $

代数学連立一次方程式拡大係数行列掃き出し法置換互換符号
2025/7/31
## R1: 連立一次方程式

1. **問題の内容**

次の連立一次方程式を解きます。
\begin{cases}
2x_1 + 4x_2 + x_3 - x_4 = 1 \\
x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 2 \\
2x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 = -2 \\
x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 3x_4 = 0
\end{cases}

2. **解き方の手順**

掃き出し法を用いて解きます。
まず、拡大係数行列を作ります。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
2 & 4 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 1 & 2 & -2 \\
1 & 3 & 2 & -3 & 0
\end{array}
\right]
1行目と2行目を入れ替えます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\
2 & 4 & 1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 2 & -2 \\
1 & 3 & 2 & -3 & 0
\end{array}
\right]
2行目から1行目の2倍を引きます。3行目から1行目の2倍を引きます。4行目から1行目を引きます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & -3 & -3 \\
0 & -3 & 3 & 0 & -6 \\
0 & 1 & 3 & -4 & -2
\end{array}
\right]
2行目を3で割ります。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & -3 & 3 & 0 & -6 \\
0 & 1 & 3 & -4 & -2
\end{array}
\right]
2行目と4行目を入れ替えます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & -4 & -2 \\
0 & -3 & 3 & 0 & -6 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1
\end{array}
\right]
3行目に2行目の3倍を加えます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & -4 & -2 \\
0 & 0 & 12 & -12 & -12 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1
\end{array}
\right]
3行目を12で割ります。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & -4 & -2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1
\end{array}
\right]
4行目から3行目を引きます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & -4 & -2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
x4=tx_4 = t とおくと、 x3=t−1x_3 = t-1 、 x2=−3(t−1)+4t−2=t+1x_2 = -3(t-1)+4t-2 = t+1 、 x1=−2(t+1)+(t−1)−t+2=−2t−2+t−1−t+2=−2t−1x_1 = -2(t+1)+(t-1)-t+2 = -2t-2+t-1-t+2 = -2t-1

3. **最終的な答え**

\begin{cases}
x_1 = -2t - 1 \\
x_2 = t + 1 \\
x_3 = t - 1 \\
x_4 = t
\end{cases}
(ttは任意の実数)
## R2: 置換の符号
(1) **問題の内容**
置換 σ1=(123456789687194352)\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 6 & 8 & 7 & 1 & 9 & 4 & 3 & 5 & 2 \end{pmatrix} の符号を求めます。
**解き方の手順**
置換を互換の積で表します。
σ1=(1 6 4)(2 8 5 9)(3 7)\sigma_1 = (1\ 6\ 4)(2\ 8\ 5\ 9)(3\ 7)
(1 6 4)=(1 4)(1 6)(1\ 6\ 4) = (1\ 4)(1\ 6)
(2 8 5 9)=(2 9)(2 5)(2 8)(2\ 8\ 5\ 9) = (2\ 9)(2\ 5)(2\ 8)
よって、σ1=(1 4)(1 6)(2 9)(2 5)(2 8)(3 7)\sigma_1 = (1\ 4)(1\ 6)(2\ 9)(2\ 5)(2\ 8)(3\ 7) となります。これは6個の互換の積なので、符号は (−1)6=1(-1)^6 = 1
**最終的な答え**
sgn(σ1)=1\text{sgn}(\sigma_1) = 1
(2) **問題の内容**
置換 σ2=(12…n−1nnn−1…21)\sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n-1 & n \\ n & n-1 & \dots & 2 & 1 \end{pmatrix} (n≥2n \geq 2) の符号を求めます。
**解き方の手順**
σ2\sigma_2は11とnn, 22とn−1n-1, 33とn−2n-2, ...を入れ替える置換です。
互換の個数を求めます。
nnが偶数のとき、互換の個数は n/2n/2 個です。
nnが奇数のとき、互換の個数は (n−1)/2(n-1)/2 個です。
まとめて書くと、互換の個数は ⌊n2⌋\lfloor \frac{n}{2} \rfloor 個です。
σ2=(1 n)(2 n−1)(3 n−2)…\sigma_2 = (1\ n)(2\ n-1)(3\ n-2) \dots
互換の個数は⌊n2⌋\lfloor \frac{n}{2} \rfloorなので、σ2\sigma_2の符号は (−1)⌊n2⌋(-1)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}です。
ただし、各互換は互いに素なので、互換の順序を入れ替えても符号は変わりません。
σ2=(1 n)(2 n−1)…(⌊n2⌋ n−⌊n2⌋+1)\sigma_2 = (1 \ n)(2 \ n-1) \dots (\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \ n - \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + 1)と書けます。
互換の数は ⌊n2⌋\lfloor \frac{n}{2} \rfloor個なので、符号は (−1)⌊n2⌋(-1)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}となります。
別の考え方として、転倒数を計算する方法もあります。
転倒数とは、i<ji < j かつ σ(i)>σ(j)\sigma(i) > \sigma(j) を満たす (i,j)(i, j) の組の個数です。
この問題の場合、i<ji < j であれば σ2(i)=n−i+1\sigma_2(i) = n - i + 1 、 σ2(j)=n−j+1\sigma_2(j) = n - j + 1 なので、σ2(i)>σ2(j)\sigma_2(i) > \sigma_2(j) が常に成り立ちます。
したがって、転倒数は 1≤i<j≤n1 \leq i < j \leq n を満たす (i,j)(i, j) の組の個数に等しく、これは nC2=n(n−1)2_nC_2 = \frac{n(n-1)}{2} です。
置換の符号は (−1)転倒数(-1)^{\text{転倒数}} で与えられるので、
sgn(σ2)=(−1)n(n−1)2\text{sgn}(\sigma_2) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}となります。
(−1)⌊n/2⌋(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}と(−1)n(n−1)2(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}が一致することを確認します。
n=2n=2のとき、⌊n/2⌋=1\lfloor n/2 \rfloor = 1, n(n−1)2=1\frac{n(n-1)}{2} = 1
n=3n=3のとき、⌊n/2⌋=1\lfloor n/2 \rfloor = 1, n(n−1)2=3\frac{n(n-1)}{2} = 3
n=4n=4のとき、⌊n/2⌋=2\lfloor n/2 \rfloor = 2, n(n−1)2=6\frac{n(n-1)}{2} = 6
n=5n=5のとき、⌊n/2⌋=2\lfloor n/2 \rfloor = 2, n(n−1)2=10\frac{n(n-1)}{2} = 10
n=6n=6のとき、⌊n/2⌋=3\lfloor n/2 \rfloor = 3, n(n−1)2=15\frac{n(n-1)}{2} = 15
n(n−1)2−⌊n2⌋\frac{n(n-1)}{2} - \lfloor \frac{n}{2} \rfloorは常に偶数となるので、(−1)⌊n/2⌋(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}と(−1)n(n−1)2(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}は一致します。
**最終的な答え**
sgn(σ2)=(−1)n(n−1)2\text{sgn}(\sigma_2) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}
または
sgn(σ2)=(−1)⌊n2⌋\text{sgn}(\sigma_2) = (-1)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}

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