$\log_{27}81$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_{27}81$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

底の変換公式は、任意の正の数 $a, b, c$ ($a \neq 1, c \neq 1$) に対して、

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

と表されます。

この問題では、底が $27$ と $81$ なので、どちらも $3$ の累乗で表せることを利用して、底を $3$ に変換します。

まず、$27 = 3^3$、$81 = 3^4$ であることを確認します。

底の変換公式を使って、

$$\log_{27} 81 = \frac{\log_3 81}{\log_3 27}$$

と変形します。

次に、$\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$、$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$ であるから、

$$\log_{27} 81 = \frac{4}{3}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$