$\log_{11} 7 \cdot \log_{7} 121$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_{11} 7 \cdot \log_{7} 121$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

底の変換公式を用いて、それぞれの対数の底を同じ数に変換します。

ここでは、底を11に変換します。

まず、$\log_{7} 121$ を底が11の対数に変換します。

底の変換公式は、

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

なので、

$\log_{7} 121 = \frac{\log_{11} 121}{\log_{11} 7}$

問題の式に代入すると、

$\log_{11} 7 \cdot \log_{7} 121 = \log_{11} 7 \cdot \frac{\log_{11} 121}{\log_{11} 7}$

$\log_{11} 7$ が約分できるので、

$\log_{11} 7 \cdot \frac{\log_{11} 121}{\log_{11} 7} = \log_{11} 121$

$121 = 11^2$ であるから、

$\log_{11} 121 = \log_{11} 11^2$

対数の性質より、

$\log_{11} 11^2 = 2 \log_{11} 11$

$\log_{11} 11 = 1$ であるから、

$2 \log_{11} 11 = 2 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

2