$\log_{\frac{1}{9}} \sqrt[4]{27}$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{9}} \sqrt[4]{27}$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[4]{27}$と$\frac{1}{9}$をそれぞれ3の累乗の形で表します。

$\sqrt[4]{27} = 27^{\frac{1}{4}} = (3^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}}$

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$

与えられた対数は、

$\log_{\frac{1}{9}} \sqrt[4]{27} = \log_{3^{-2}} 3^{\frac{3}{4}}$

底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いて、底を3に変換します。

$\log_{3^{-2}} 3^{\frac{3}{4}} = \frac{\log_3 3^{\frac{3}{4}}}{\log_3 3^{-2}}$

対数の性質 $\log_a a^x = x$ を用いると、

$\frac{\log_3 3^{\frac{3}{4}}}{\log_3 3^{-2}} = \frac{\frac{3}{4}}{-2} = \frac{3}{4} \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{8}$